Se puede simplificar la siguiente suma

Question

Para$n \ge 3$, define$$f(n) = \sum_{k=3}^n {n \choose k}{k-1 \choose 2}.$ $

¿Existe una expresión de formulario cerrada para$f$?

Answer 1

Utilice el teorema binomial para anotar la expansión de$$\frac{(1+x)^n-1}{x}.$ $ A continuación, diferenciar dos veces, y establecer$x=1$. Obtendrá un pariente muy cercano de su suma.

Answer 2

Tenga en cuenta que

ps

Donde el$$\binom{n}k\binom{k-1}2=\frac12\binom{n}k(k-1)(k-2)\;,$ parece el coeficiente de la segunda derivada de$(k-1)(k-2)$. Eso sugiere mirar algo como

ps

Y diferenciando dos veces con respecto a$x^{k-1}$ para obtener

ps

Claramente tenemos entonces$$g(x)=\sum_{k=3}^n\binom{n}kx^{k-1}$, y todo lo que queda es obtener un formulario cerrado para$x$. Pero$$g''(x)=\sum_{k=3}^n\binom{n}k(k-1)(k-2)x^{k-2}\;:$ se puede escribir

ps

Y usted conoce un formulario cerrado para$f(n)=\frac12g''(1)$, por lo que todo lo que se necesita ahora es un pequeño álgebra.

Answer 3

Utilizaremos las identidades $$ \begin{align} \sum_{k=m}^n\binom{n}{k}\binom{k}{m} &=\sum_{k=m}^n\binom{n}{m}\binom{n-m}{k-m}\\ &=\binom{n}{m}2^{n-m}\tag{1} \end {align} $$ y $$ \ binom {k-1} {2} = \ binom {k} {2} - \ binom {k} {1} \ Binom {k} {0} \ tag {2} $$ notando que $$ \ binom {k-1} {2} = \ left \ {\begin{array}{} 0&\text{for }k\in\{1,2\}\\ 1&\text{for }k=0 \end {array} $ Aplicando$(1)$,$(2)$, y$(3)$, obtenemos $$ \begin{align} \sum_{k=3}^n\binom{n}{k}\binom{k-1}{2} &=-\binom{n}{0}\binom{-1}{2}+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{k-1}{2}\\ &=-1+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\binom{k}{2}-\binom{k}{1}+\binom{k}{0}\right)\\ &=-1+\binom{n}{2}2^{n-2}-\binom{n}{1}2^{n-1}+\binom{n}{0}2^{n-0}\\[9pt] &=(n^2-5n+8)2^{n-3}-1\tag{4} \end {align} $$

Answer 4

Wolfram | Alpha dice:$$\sum_{k=3}^n\binom{n}{k}\binom{k-1}{2}=2^{n-3}n^2-5\cdot2^{n-3}n+2^n-1$ $