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Representación del gráfico de Petersen en el sistema de raíces $E_6$

Es bien sabido que el grafo de Petersen es un grafo fuertemente regular con parámetros (10,3,0,1) y puede ser considerado como grafo complemento de $L(K_5)$ y su espectro es $\{3,1^5,(-2)^4\}$ .

Además, se ha demostrado que cualquier gráfico con $\lambda(G)\ge -2$ puede representarse en uno de los sistemas de raíces $A_n$ , $D_n$ , $E_8$ , $E_7$ o $E_6$ . También se demuestra que todos los grafos excepcionales son representables en el sistema de raíces $E_8$ que está contenida en $E_7$ y $E_6$ .

Se puede demostrar fácilmente que el gráfico de Petersen no es un gráfico lineal generalizado, por lo que es un gráfico excepcional. Así que tiene una representación en los sistemas de raíces $E_8$ , $E_7$ o $E_6$ .

Quiero encontrar una representación para este gráfico en $E_6$ sino porque no tengo suficiente visión en los elementos del sistema de raíces $E_6$ No he podido encontrar esta representación.

Estaré muy agradecida por cualquier ayuda y respuesta sobre la búsqueda de esta representación.

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Keltia Puntos 8104

Considere conjuntos de líneas en $\mathbb{R}^d$ , tal que el ángulo entre dos líneas distintas es $60^\circ$ o $90^\circ$ . Este conjunto es indecomponible si no podemos dividirlo en dos subconjuntos no vacíos de forma que los vectores de los distintos subconjuntos sean ortogonales. Es cerrado en estrella si siempre que contenga líneas $L$ y $M$ en un ángulo de $60^\circ$ También contiene la tercera línea única en su tramo que se encuentra en $60^\circ$ a $L$ y $M$ . Cameron, Goethals, Seidel y Seidel demostraron que un conjunto de líneas cerrado en estrella indecomponible (con ángulos mutuos $60^\circ$ y $90^\circ$ ) es necesariamente uno de los sistemas de raíces $A_n$ , $D_n$ , $E_6$ , $E_7$ , $E_8$ . Además, cualquier conjunto de líneas con ángulos mutuos $60^\circ$ y $90^\circ$ puede ser cerrado en estrella.

Ahora dejemos que $A$ sea la matriz de adyacencia del grafo de Petersen. Entonces $A+2I$ es semidefinida positiva y, por tanto, es la matriz de Gram de 10 vectores de longitud cuadrada dos. Como $-2$ tiene multiplicidad cuatro como valor propio, $A+2I$ tiene rango seis y por lo tanto nuestros 10 vectores se encuentran en $\mathbb{R}^6$ . De ello se deduce que el cierre en estrella de estas líneas es un sistema de raíces en $\mathbb{R}^6$ . Dado que el gráfico de Petersen no es un gráfico lineal generalizado, debe ser $E_6$ .

Puede encontrar más información sobre esto en el artículo de Cameron et al; también hay un tratamiento en el capítulo 12 de "Algebraic Graph Theory" de Royle y yo.

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