Ciertamente no es necesario para $A$ $D$ a es invertible, por ejemplo, con $B = \pmatrix{1 & 0\cr 0 & 1\cr}$ podría tener $A = D = \pmatrix{0 & 0\cr 0 & 0\cr}$ o con $B = \pmatrix{1 & 0\cr 0 & 0\cr}$ podría tener $A = \pmatrix{0 & 0\cr 0 & 1\cr}$$D = \pmatrix{1 & 1\cr 1 & 1\cr}$.
Por supuesto, con $B = \pmatrix{0 & 0\cr 0 & 0\cr}$ los autovalores de a $M$ son de la unión de los autovalores de a $A$ e de $D$.
En todos los casos $\text{Tr}(M) = \text{Tr}(A) + \text{Tr}(D)$, por lo que la suma de los autovalores de a $M$ es la suma de$A$, más la suma de $D$.
En el caso de $B = \pmatrix{1 & 0\cr 0 & 1\cr}$, el coeficiente de $\lambda^2$ en el polinomio característico de a $M$ ($\sum_{i < j} \lambda_i \lambda_j$ donde $\lambda_i$ son los autovalores de a $M$) es de $a_{{1}}a_{{2}}+a_{{1}}d_{{1}}+a_{{1}}d_{{2}}+a_{{2}}d_{{1}}+a_{{2}}d_{
{2}}+d_{{1}}d_{{2}}+2$, where $a_i$ and $d_i$ are the eigenvalues of $$ and $D$ respectivamente.
En el caso de $B = \pmatrix{1 & 0\cr 0 & 0\cr}$, el coeficiente sería
$a_{{1}}a_{{2}}+a_{{1}}d_{{1}}+a_{{1}}d_{{2}}+a_{{2}}d_{{1}}+a_{{2}}d_{
{2}}+d_{{1}}d_{{2}}+1$.
En el caso de $B = \pmatrix{1 & 0\cr 0 & 0\cr}$, creo que estas son las únicas ecuaciones de la vinculación de los autovalores de a $M$ con los de $A$$D$: usted puede elegir la $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$ arbitrariamente la satisfacción de las dos restricciones en
$\sum_i \lambda_i$ $\sum_{i<j} \lambda_i \lambda_j$ y encontrar una adecuada $A$ $D$
con autovalores $a_i$ $d_j$ que funciona.
En el caso de $B = \pmatrix{1 & 0\cr 0 & 1\cr}$, a mí me parece que hay un
restricción adicional: sólo se puede elegir un autovalor (decir $\lambda_1$), de forma arbitraria, y, a continuación, el
otros tres va a satisfacer
$$\eqalign{{\lambda}^{3}&+ \left( -a_{{1}}-a_{{2}}-d_{{1}}-d_{{2}}+\lambda_{{1}}
\right) {\lambda}^{2}\cr + \left( a_{{1}}a_{{2}} \right. & \a la izquierda. +a_{{1}}d_{{1}}+a_{{1}}d_
{{2}}-a_{{1}}\lambda_{{1}}+a_{{2}}d_{{1}}+a_{{2}}d_{{2}}-a_{{2}}
\lambda_{{1}}+d_{{1}}d_{{2}} -d_{{1}}\lambda_{{1}} -d_{{2}}\lambda_{{1}}
+{\lambda_{{1}}}^{2}+2 \right) \lambda \cr +a_{{2}}d_{{2}}\lambda_{{1}} &-a_{
{1}}a_{{2}}d_{{2}}-a_{{2}}d_{{1}}d_{{2}}-a_{{1}}a_{{2}}d_{{1}}-a_{{1}}
d_{{1}}d_{{2}}-a_{{1}}-a_{{2}}+{\lambda_{{1}}}^{3}+2\,\lambda_{{1}}-d_
{{1}}-d_{{2}}-d_{{1}}{\lambda_{{1}}}^{2}\cr -d_{{2}}{\lambda_{{1}}}^{2} & +a_
{{1}}a_{{2}}\lambda_{{1}}+a_{{1}}d_{{2}}\lambda_{{1}}+a_{{2}}d_{{1}}
\lambda_{{1}}+a_{{1}}d_{{1}}\lambda_{{1}}+d_{{1}}d_{{2}}\lambda_{{1}}-
a_{{2}}{\lambda_{{1}}}^{2}-a_{{1}}{\lambda_{{1}}}^{2}=0\cr}
$$
