¿Existe una propiedad de mapeo universal satisfecha por la unión disjunta de conjuntos totalmente ordenados?

Question

Es demostrado en otro post que el producto y el subproducto no existen en la categoría de totalmente de conjuntos ordenados (excepto en algunos casos triviales). (En este post voy a considerar únicamente la categoría de TOrd, por lo que los morfismos son la monotonía de los mapas, no los estrictamente monótona mapas.)

A mí me parece, sin embargo, que no es una forma natural para definir el "subproducto" y "producto" totalmente de conjuntos ordenados $A$ $B$ si no insistir en lo de ser simétrica. En otras palabras, tendremos $A \oplus B \not \cong B \oplus A$$A \times B \not \cong B \times A$.

• Para una relación asimétrica de suma directa (subproducto), vamos a $A \oplus B$ ser distinto de la unión de $A$$B$, donde se definen $a \le b$ para todos los $a \in A$, $b \in B$.

• Para una relación asimétrica de producto directo, vamos a $A \times B$ ser el producto cartesiano de los pares ordenados, y deje $(a, b) \le (a', b')$ siempre $a < a'$ O $a = a'$$b \le b'$. (I. e., el orden es lexicográfica).

Podemos venir para arriba con una asignación universal de la propiedad que está satisfecho con cualquiera de estas construcciones?

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La motivación

Entiendo que puede parecer ser una ilusión esperar que estas aparente mal comportamiento de las construcciones para satisfacer una categoría de la teoría de la propiedad. Así que aquí es un poco de motivación de por qué creo que debe satisfacer la propiedad.

1. Una similar asimétrica de las obras de construcción en otras categorías. En la categoría de bien de conjuntos ordenados, exactamente la misma construcción se utiliza para la suma y el producto en el ordinal aritmética. En la categoría de monoids, la inconexión de la unión de $A$ $B$ puede ser un monoid así que si usted dice que $ab = b$ para cualquier $a \in A$, $b \in B$. La construcción está de acuerdo con el subproducto y producto en la categoría de conjuntos, aunque en este caso, por supuesto, ambas son conmutativas.

2. Ambos de estas definiciones natural generalizar a tomar una suma directa o producto de cualquier finito o infinito número de tosets.

3. Hemos asociatividad: $A \oplus (B \oplus C) \cong A \oplus (B \oplus C)$ y de manera similar para $\times$.

4. También tenemos $A \oplus 0 \cong 0 \oplus A \cong A$ $1 \times A \cong A \times 1 \cong A$ donde $0$ $1$ son la inicial y terminal de objetos en TOrd.

Descargo de responsabilidad

Mi comprensión de la categoría de la teoría se limita principalmente a sus aplicaciones en álgebra, en particular en los grupos, conmutativa anillos y módulos.

Answer 1

No puedes esperar para una condición que sea su enunciado puramente categoría de la teoría de la lengua. Es decir, no es un functor $T$ de TOrd a sí mismo que consta de inversión de todas las órdenes, y esto en realidad es un isomorfismo, pero no conserva su $\oplus$. En lugar de $T(A\oplus B)=T(B)\oplus T(A)$. Así que no hay manera, hablando solamente acerca de los objetos y morfismos, para distinguir entre si la izquierda o la derecha operando a $\oplus$ llega a ser en la parte superior.

Sin embargo, si nos relajamos la expectativa de ser puramente categoría de la teoría, podemos especie de ala:

Deje $\mathbf 1$ ser un terminal objeto de nuestra categoría. (Concretamente en TOrd, $\mathbf 1$ es una orden con un solo elemento). Para cada objeto $A$, vamos a $0_A$ ser el único de morfismos $A\to 1$.

Deje $\mathbf 2$ ser un objeto de tal manera que hay exactamente dos morfismos $\mathbf 1 \to\mathbf 2$. (Concretamente, una de dos elementos de orden). Elija fijo los nombres de estos dos morfismos , por ejemplo, llamar a$\uparrow$$\downarrow$. (Este es el paso que no necesariamente conserva por isomorphisms de la categoría).

Ahora $A\oplus B$ será un objeto junto con morfismos $f_1:A\to A\oplus B$, $f_2: B\to A\oplus B$, $g: A\oplus B\to\mathbf 2$, tal que $g\circ f_1 = {\downarrow}\circ 0_A$$g\circ f_2 = {\uparrow}\circ0_B$.

Esto en sí mismo no especifica $A\oplus B$ -- concretamente, el riesgo es, en primer lugar, que puede contener el elemento azotada por el ni $f_1$ ni $f_2$, en segundo lugar, que el $f_1$ o $f_2$ podría no ser incrustaciones.

Podríamos encargarnos de este último riesgo mediante la exigencia de que $f_1$ $f_2$ ser mono. Para el ex podemos exigir que $f_1$ $f_2$ son conjuntamente epi: Para cualquier $h_1,h_2:A\oplus B\to C$ si $h_1\circ f_1=h_2\circ f_1$$h_1\circ f_2=h_2\circ f_2$,$h_1=h_2$.

Sin embargo, estas condiciones locales en $f_1$ $f_2$ no garantizada (en cualquier categoría con $\mathbf 1$ $\mathbf 2$ $A\oplus B$ es único hasta el isomorfismo, así que es mejor utilizar una adecuada universal de la propiedad en su lugar:

Siempre hemos morfismos $f'_1: A\to C, f'_2: B\to C, g': C\to\mathbf 2$$g'\circ f'_1 = {\downarrow}\circ 0_A$$g'\circ f'_2 = {\uparrow}\circ 0_B$, debe haber una única $h:A\oplus B\to C$ tal que $f'_1 = h\circ f_1$$f'_2= h\circ f_2$.

Es tentador también requieren $g'\circ h=g$, pero no le parece que es necesario en TOrd (o cualquier hormigón categoría donde $\bf 2$ es un elemento del conjunto), y haría de la construcción completa ver menos como una colimit. Podría ser mejor para ver $g$ $g'$ "local" características de $A\oplus B$$C$, e ignorar el hecho de que ambos tienen el mismo codominio.

Un posible problema es que el $\bf 2$ no es necesariamente el único (aunque es en TOrd). Pero ya estamos de fijación arbitraria de decisiones de los morfismos en $\bf 2$, teniendo que elegir $\bf 2$ primero es sin duda no se mucho peor. Por ejemplo, en la categoría de parcial de las órdenes, podemos optar $\bf 2$, ya sea en el ámbito de sus dos elementos o no; de acuerdo con la elección $A\oplus B$ cualquiera de pila de sus dos argumentos en la cima de uno a otro, o de lado a lado como ajenos.