Por $\Bbb{R}^L$, me refiero a que el conjunto que se interpreta como $\Bbb{R}$$L$, Gödel edificable universo. Para su concreción, y para evitar cuestiones de definición acerca de $\Bbb{R}$, estoy buscando en el conjunto de ${\cal P}(\omega)$ como un proxy. Yo creo que debe ser contables, ya que sólo definible subconjuntos de a $\omega$ están siendo considerados, pero no veo cómo Cantor del teorema de fallar, puesto que en la $L$ es un modelo de $\sf{ZFC}$. (En realidad, eso es una mentira: esto probablemente significa que no hay inyección de $f:\omega\to{\cal P}(\omega)^L$ $L$, incluso si hay uno en $V$. Todavía estoy un poco confusa en todos los detalles, sin embargo.) Pero los ordinales son en $L$, lo $L$ sí no es contable, y no debe existir realmente innumerables elementos de $L$. ¿Qué hace el powerset operación (en $L$) a la cardinalidad de conjuntos (como se ve en $V$), entonces?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es imposible dar una respuesta completa a esta pregunta sólo en $\sf ZFC$.
Por una vez, es posible que $V=L$ es verdadera en el modelo se puede considerar, por lo tanto en el hecho de $\Bbb R^L=\Bbb R$, por lo que la cardinalidad es $\aleph_1$.
Por otro lado es posible que el universo es $L[A]$ donde $A$ es un conjunto de $\aleph_2$ Cohen reales, en cuyo caso $\Bbb R^L$ es de tamaño $\aleph_1$.
Y también es posible que el universo es $L[G]$ donde $G$ es una función que se derrumba $\omega_1^L$, lo que resulta en tener $\Bbb R^L$ como una contables conjunto.
Hay otros axiomas, como el gran cardenal axiomas (por ejemplo, "$0^\#$ existe"), que implica que $\Bbb R^L$ es contable, y uno puede organizar todo tipo de trucos locos, donde el resultado es grande o pequeño en comparación con $\Bbb R$.
Una cosa es cierta, $|\Bbb R^L|=|\omega_1^L|\in\{\aleph_0,\aleph_1\}$.
