¿Cómo sabemos que la transformada de Fourier del espacio es impulso?

Question

¿Cómo sabemos que la transformada de Fourier del espacio real $x$ es el espacio de $p$de % de impulso o energía y tiempo, receptivo? ¿Qué es el proceso de matemática y lógica física?

Answer 1

¿Cuál es el proceso matemático y físico de la lógica?

La transformada de Fourier de la posición del espacio ($\vec x$ dominio) es el número de onda en el espacio ($\vec k$ dominio). Este es un inequívoco, bien entendido resultado matemático.

Por la hipótesis De De Broglie, el impulso es $\vec p = \hbar \vec k$. Este es el físico, hipótesis con la confirmación experimental.

Aunque las respuestas anteriores a la citada pregunta, tengo la sospecha de que de no encontrarlo satisfactorio como usted está buscando algo 'más profundo'. En ese caso, pensar cuidadosamente acerca de lo que su pregunta es y ponerlo como una cuestión separada.

Por ejemplo, "¿qué es la intuición física que motiva a la hipótesis De De Broglie"? No he buscado, pero esa pregunta ya tiene una respuesta aquí.

Answer 2

Para cuantizar un sistema clásico, empezar desde el corchete de Poisson $$\{x_i, p_j\} = \delta_{ij}.$$ Esta relación define la $p_i$ como el impulso canónicamente conjugadas a $x_i$ y es equivalente a las ecuaciones de Hamilton. Quantize dejando $x_i, p_j$ ser Hermitian operadores en un espacio de Hilbert, con conmutador $$[\hat x_i, \hat p_j] = i\delta_{ij} $$ (identity operator implicit). Let $|\vec x\rangle$ denote an eigenstate with eigenvalues $\vec x$ and $\psi(\vec x) = \langle \vec x | \psi \rangle$. Then the operator $$\hat p_i : |\psi\rangle \mapsto -i \int d^3x' |\vec x\rangle \frac{\partial }{\partial \vec x_i} \psi(\vec x)$$ satisface la conmutación relación (y es el único operador). Con esta representación del impulso del operador, el autovalor problema es $$\langle \vec x'| \hat p_i |\psi\rangle =\vec p_i\langle x'|\psi\rangle = \vec p_i \psi(x') = -i\int d^3\vec x\, \delta(\vec x-\vec x') \frac{\partial}{\partial \vec x_i} \psi(\vec x)$$ o el uso de la delta de Dirac, $$p_i \psi(x) = -i\frac{\partial}{\partial \vec x_i}\psi(x).$$ Así, por un eigenstate de impulso, $\psi(x) \propto e^{\vec p\cdot \vec x}$. Es decir, el estado es una onda plana.

Para resumir, el canónica de los corchetes de Poisson, cuantificadas a la canónica relaciones de conmutación, nos encontramos con que el impulso autoestados son ondas planas. Expresando así un problema en términos de impulso autoestados es el mismo que se expresa en el plano de las ondas, que es precisamente lo que la transformada de Fourier.

Answer 3

Una transformada de Fourier es la descomposición de una función de espacio de posición en forma de ondas planas, cada una de ellas tiene un impulso bien definido.

$$ f (x) \sim \int \text{d}p\; F(p) e ^ {\text {i} px} $$

Esto se basa en la idea mecánica cuántica que las ondas pueden tener un impulso bien definido.