Generalización de las ecuaciones de Cauchy-Riemann a campos algebraicas arbitrarias

Question

¿Se puede hacer?

Un arbitrario campo cuadrático $Q[\sqrt{d}]$, es fácil demostrar que las ecuaciones son simplemente $ f_x = -\sqrt{d} f_y $, donde $ f : Q[\sqrt{d}] \to Q[\sqrt{d}]$. Estoy trabajando en el caso de $Q[\theta]$, $\theta$ es una raíz de $\theta^3 - a\theta - b$, pero no estoy seguro si es posible. ¿Se ha realizado ninguna investigación matemática realizada sobre este tema? ¿Qué opinas sobre él?

Answer 1

Si usted quiere tomar derivados en un contexto general, usted puede. Por ejemplo, vamos a $K$ ser cualquier topológico de campo. A continuación, para cualquier función de $f: K \rightarrow K$ y cualquier $x \in K$, podemos decir que la derivada de $f$ existe en $x$ si el límite habitual

$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

existe. Así que si la topología en $\mathbb{Q}$ es el habitual de Arquímedes que viene de la restricción de la métrica Euclidiana en $\mathbb{R}$, se puede hablar de continua y diferenciable de las funciones de $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$.

Sin embargo estas funciones carecen de la mayor parte de las propiedades de las funciones correspondientes en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, debido a la falta de integridad de $\mathbb{Q}$. Es decir, un continuo (e incluso diferenciable) de la función en un circuito cerrado el intervalo de $\mathbb{Q}$ no necesita satisfacer el valor intermedio de la propiedad, no tiene que ser limitada, si es limitado necesidad de no asumir un valor máximo o mínimo, y no necesitan ser uniformemente continua, no tendrán que cumplir la Media Teorema del Valor o del Teorema de Taylor, y así sucesivamente. Por lo que es justo preguntarse por qué uno querría para el estudio de funciones diferenciables en $\mathbb{Q}$.

(Debo decir que no está completamente claro que no hay una buena respuesta a esta. Por ejemplo, en el caso de la $p$-ádico de campo $\mathbb{Q}_p$, no es tan común hablar de o estudio de funciones diferenciables. Sin embargo, no es un trivial de la teoría de aquí, como he aprendido de Alain Robert, el libro de $p$-ádico de análisis. Mientras que no es tan esencial como en el real o complejo caso de que, definitivamente, ha sido estudiado y escrito sobre.)

El problema de la definición de derivadas parciales sobre el número de campos es un poco más sutil, y aquí creo que hay problemas que el OP ha de apreciar. Pensar acerca de la de Cauchy-Riemann ecuaciones en $\mathbb{C}$: Paso 0 aquí es la identificación de $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}^2$ y una función de $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ como una función $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, es decir, una función real de varias variables.

Más en general, vamos a $(K,| \ |)$ ser una normativa de campo, es decir, $| \ |: K \rightarrow \mathbb{R}^{\geq 0}$ es tal que $\rho(x,y) := |x-y|$ se da una métrica en $K$ con la propiedad adicional de que $|xy| = |x||y|$ todos los $x,y \in K$. Y deje $V$ ser finito-dimensional normativa $K$-espacio vectorial, a decir de la dimensión$n$, a Continuación, un básico pero quizás infravalorado resultado es que la integridad de $K$ es esencial para hacer una identificación de la normativa $K$-espacios lineales $V \cong K^n$. Así, por ejemplo, la norma Euclídea $| \ |$ $\mathbb{C}$ es equivalente a cualquier producto métrica en $\mathbb{R}^2$.

Esta propiedad no se sostiene, en general, cuando ampliamos el de Arquímedes norma $| \ |$ $\mathbb{Q}$ a un número arbitrario de campo $K$. De hecho, las cosas salen bien exactamente si $K = \mathbb{Q}$ o $K$ es un imaginario cuadrática campo. Así que vamos a ver en la próxima el caso más simple, el de un verdadero cuadrática campo $K = \mathbb{Q}(\sqrt{D})$. En este caso hay dos normas en $K$ ampliación de la norma Euclídea, decir $| \ |_1$ y $| \ |_2$ correspondiente a los dos diferentes incrustaciones de $K$ a $\mathbb{R}$. (Así, por ejemplo, si $|\sqrt{D}|_1$ es la raíz cuadrada positiva de $D$, $|\sqrt{D}|_2$ es el negativo de la raíz cuadrada de $D$.) Ni $(K,| \ |_1)$ ni $(K,| \ |_2)$ es equivalente, como una normativa $\mathbb{Q}$-espacio vectorial, a $\mathbb{Q}^2$ con la norma de producto. De hecho, aquí es aún más fuerte declaración: considerar el (único) de la incrustación $\iota$ $\mathbb{Q}$ a $K$. Luego, con respecto a la topología inducida por cualquiera de las $| \ |_1$ o $|\ |_2$ $\iota(\mathbb{Q})$ es denso, ya que de hecho, ambos son densos en sus terminaciones, que son isomorfos a $\mathbb{R}$. Por otro lado, la incorporación de la $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{Q}^2$ a través de la diagonal, $x \mapsto (x,x)$, ha cerrado la imagen.

Así que la idea de derivadas parciales aquí me pone nervioso. Un resultado de la discusión anterior es que la elección de la base $\{1,\sqrt{D} \}$$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$$\mathbb{Q}$, las `instrucciones" $1$ $\sqrt{D}$ no son métricamente/topológicamente independientes, aunque son independientes en el sentido de álgebra lineal.

Una observación final es que, para un número teórico como yo, es muy poco natural para elegir un determinado Arquímedes norma $| \ |$ en un campo de número de $K$. Por el contrario, existe un conjunto finito de clases de equivalencia de tales normas ("lugares de Arquímedes") que se puede determinar observando la factorización de cualquier polinomio $P(t) \in \mathbb{Q}[t]$ tal que $K \cong \mathbb{Q}[t]/(P)$$\mathbb{R}$: si $P$ $r$ bienes raíces y $s$ complejo conjugado de pares de raíces complejas, entonces no se $r + s$ Arquimedianos lugares de $K$, y uno tiene que trabajar con todos ellos a la vez con el fin de hacer topológicamente cosas útiles. En particular, la forma natural de la incrustación de aquí es realmente de $K$ a $K \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R} \cong \mathbb{R}^r \oplus \mathbb{C}^s$. Tenga en cuenta que este último es un campo en exactamente dos casos: cuando el $(r,s) = (1,0)$ (es decir, $K = \mathbb{Q})$ o al $(r,s) = (0,1)$ (es decir, $K$ es un imaginario cuadrática de campo).

Answer 2

Para responder a las tres literal preguntas:

Un hombre sabio dijo una vez, "definir la PDE sobre un campo de número y usted será un hombre rico". Esto significaba no como la investigación consejos, pero para indicar que todo el mundo le encantaría tener una cosa así, muchos han tratado de crear, y obvio enfoques no funcionan.

(p.s. si usted busca en este sitio para la "aritmética de Kodaira-Spencer clase" usted encontrará una conversación anterior con un puntero de Matt E a un papel por Faltings en la inexistencia de (cualquier versión lineal) de un objeto sobre el número de campos. En otras palabras, la elusión de la aritmética diferenciación no es sólo una observación sociológica.)

Answer 3

No sé si esto ayuda, pero he pensado en algo como esto cuando yo era un estudiante. Yo estaba pensando en el Jugendtraum: el hecho de que abelian extensiones de los imaginarios cuadrática de los campos puede ser descrito por los valores de las funciones analíticas en $\mathbb{C}$. Mi idea era la siguiente: Vamos a $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-D})$ ser una ecuación cuadrática imaginario de campo. A continuación, $\mathbb{C} \cong K \otimes \mathbb{R}$ y podemos escribir la de Cauchy-Riemmann ecuaciones como $(D \partial_x^2 + \partial_y^2) f=0$, lo que parece ser construido a partir de la norma formulario de $K \to \mathbb{Q}$.

Por lo tanto, (pensé), si queremos generalizar la Jugendtraum a un real cuadrática campo $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$, debemos considerar las funciones en $K \otimes \mathbb{R}$ que obedecen a $(D \partial_x^2 - \partial_y^2) f=0$.

Bien, esto no llegar a ninguna parte. Pero yo lo hice para mostrar que una función de $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ obedeciendo $(D \partial_x^2 - \partial_y^2) f=0$ es de la forma $g(x+\sqrt{D}y) + h(x-\sqrt{D}y)$. Por lo tanto, si ese es el camino que estás gong, me puede decir dónde termina.

Answer 4

He descubierto esta discusión recientemente, pero creo que tengo algo importante que aportar.

Por favor, echa un vistazo a

http://www.math.unm.edu/~aca/ACA/2011/no estándar/Recio.pdf

que ha sido presentado en

http://www.math.unm.edu/~aca/ACA/2011/nonstandard.html

Si está interesado en más detalles, por favor póngase en contacto conmigo.