Ejemplo de cartografía continua de open(closed) se ajusta a no open(closed) conjunto

Question

Quiero encontrar una función continua: s.t. de $f:\textbf{R}^n \rightarrow \textbf{R}^m$ % subconjunto abierto $A$, $f(A)$ no es abierto y cerrado $B$, $f(B)$ no es cerrado.

Soy capaz de encontrar algunas asignaciones que satisfagan una condición, por ejemplo $f(x)=exp(-x)$mapas cerrados $[0,\infty)$ a no cerrar $(0,1]$, pero no puede encontrar un ejemplo que satisface ambas condiciones.

Answer 1

Considerar la continua mapa $f(x)=e^{-|x|}$. Entonces $f(\Bbb R)=(0,1]$. Tenga en cuenta que $\Bbb R$ es abierto y cerrado, pero la imagen $(0,1]$ es ni abierto ni cerrado.

Answer 2

Considere el mapa continuo:

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\cases{1\quad\mathrm{if}\,x\le0\cr\frac 1{x+1}\quad\mathrm{otherwise}}$$

y el % de subconjuntos $A=(-\infty,0)$, $B=[0,+\infty)$.

A continuación:

• $A$ está abierto y no libre $f(A)=\{1\}$

• $B$ está cerrado y no se cierra $f(B)=(0,1]$