Raíces de $x+\frac 1x=2e^{i\phi}$

Question

Dejemos que $\alpha$ y $\beta$ sean las raíces de $$x+\frac{1}{x}=2e^{i\phi}, \ 0<\phi<\pi$$

(a) Demuestre que $\alpha+i$ y $\beta+i$ tienen el mismo argumento y $|\alpha-i|=|\beta-i|$ .

(b) Encuentra el lugar de las raíces $\alpha$ y $\beta$ como $\phi$ varía de $0$ a $2\pi$ .

Progreso: Por simetría si $t$ es una raíz, entonces $\frac{1}{t}$ también es una raíz. Así que sé que $\alpha=\frac{1}{\beta}$ . Además, tenemos $$\left|x+\frac{1}{x}\right|=2$$

Answer 1

Formalmente obtenemos $$x=e^{i\phi}\pm\sqrt{e^{2i\phi}-1}\qquad(0<\phi<\pi)\ .$$ Supongamos que $0<\phi<{\pi\over2}$ por el momento, y dibujar una pequeña figura. Muestra que $|e^{2i\phi}-1|=2\sin\phi$ y ${\rm Arg}(e^{2i\phi}-1)={\pi\over2}+\phi$ . De ello se desprende que $$\pm\sqrt{e^{2i\phi}-1}=\pm\sqrt{2\sin\phi}\>e^{i(\pi/4+\phi/2)}=:\pm w\ .$$ Se puede comprobar fácilmente que $w^2=e^{2i\phi}-1$ para la arbitrariedad $\phi\in[0,\pi]$ . Las dos soluciones $\alpha$ y $\beta$ por lo tanto son $$\eqalign{\alpha&=\cos\phi+\sqrt{2\sin\phi}\>\cos\left({\pi\over4}+{\phi\over2}\right)+i\left(\sin\phi+\sqrt{2\sin\phi}\>\sin\left({\pi\over4}+{\phi\over2}\right)\right)\ ,\cr \beta&=\cos\phi-\sqrt{2\sin\phi}\>\cos\left({\pi\over4}+{\phi\over2}\right)+i\left(\sin\phi-\sqrt{2\sin\phi}\>\sin\left({\pi\over4}+{\phi\over2}\right)\right)\ .\cr}\tag{1}$$ El trazado de estos puntos indica que se encuentran en el círculo con centro $i$ y el radio $\sqrt{2}$ . Realización del cálculo mediante $(1)$ confirma que efectivamente $|\alpha-i|^2=|\beta-i|^2=2$ para todos $\phi$ . Debería ser posible obtener este resultado a partir de la ecuación dada de forma más sencilla.