¿Cuáles son algunas buenas intuiciones para entender el funcionamiento de Souslin $\mathcal{A}$ ?
Recordemos la definición: Sea $S = \mathbb{N^{<N}} = \bigcup_{n = 1}^\infty \mathbb{N}^n$ sea el conjunto de secuencias finitas no vacías en $\mathbb{N}$ y que $\mathcal{E} \subseteq P(X)$ sea una familia de subconjuntos de un conjunto dado $X$ . A Plan Souslin es una asignación $E \colon S \to \mathcal{E}, s \mapsto E_s$ y se define su núcleo como $$ \mathcal{A}E = \mathcal{A}_s E_s = \bigcup_{\sigma \in \mathbb{N}^{\mathbb N}}\bigcap_{n=1}^\infty E_{\sigma{\upharpoonright}n} \subseteq X $$ donde $\sigma{\upharpoonright}n = \langle \sigma(0),\dots,\sigma(n-1)\rangle \in \mathbb{N}^n$ . La colección de todos los subconjuntos de $X$ obtenido de $\mathcal{E}$ de esta manera se denota por $\mathcal{A}(\mathcal E)$ .
Me siento cómodo con las propiedades fundamentales del $\mathcal{A}$ -(y sus pruebas). Para enumerar algunos de los hechos básicos que creo entender:
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subsume las uniones e intersecciones contables;
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idempotencia: si $\mathcal{E} \subseteq P(X)$ es una clase cualquiera de subconjuntos, entonces $\mathcal{A}(\mathcal{E}) = \mathcal{A}(\mathcal{A}(\mathcal{E}))$ ;
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si $\emptyset, X \in \mathcal{A}(\mathcal{E})$ y $X \setminus E \in \mathcal{A}(\mathcal{E})$ para todos $E \in \mathcal{E}$ entonces $\sigma(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{A}(\mathcal{E})$ .
En particular, si $\mathcal{E} \subset P(\mathbb{R})$ es la familia de intervalos cerrados con puntos finales racionales, entonces $\mathcal{A}(\mathcal{E})$ contiene el $\sigma$ -álgebra de Borel (y de hecho la contención es estricta).
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si $(X,\Sigma,\mu)$ es un espacio de medidas obtenido a partir de la construcción de Carathéodory sobre alguna medida exterior en $X$ entonces $\Sigma$ está cerrado bajo el $\mathcal{A}$ -operación: $\mathcal{A}\Sigma = \Sigma$ .
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el núcleo de un esquema Souslin puede interpretarse como la imagen $R[\mathbb{N^N}]$ de una relación $R \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N} \times X$ En particular, si $X$ es polaco, entonces el $\mathcal{A}$ -sobre conjuntos cerrados nos da los conjuntos analíticos.
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Si $\langle E_s : s \in \mathbb{N}^{\lt \mathbb{N}}\rangle$ es un esquema regular de Souslin de conjuntos cerrados con diámetro evanescente, entonces su relación asociada $R \subset \mathbb{N}^\mathbb{N} \times X$ es la gráfica de una función continua $f\colon D \to X$ definido en algún subconjunto cerrado $D$ de $\mathbb{N^N}$ .
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etc.
El punto de esta lista es sólo para mencionar que creo que he hecho mi parte de las manipulaciones con árboles y $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ que vienen junto con $\mathcal{A}$ pero sigo teniendo la sensación de que algo fundamental se me escapa.
Después de ver los dos documentos Comptes Rendus de 1917 Sobre una definición de conjuntos medibles $B$ sans nomes transfinis por Souslin y Sobre la clasificación de M. Baire de Lusin, también creo entender que parte de la inspiración fue la representación de fracciones continuas de los números reales.
Dada la importancia del $\mathcal{A}$ -operación (se han escrito libros enteros sobre sus usos, por ejemplo, C.A. Rogers et al, Conjuntos analíticos donde hay una gran cantidad de aplicaciones) sería bueno tener algunas buenas intuiciones que me permitan tener una comprensión más firme de lo que está pasando.
De alguna manera parece que el $\mathcal{A}$ -la operación se presenta sobre todo como un dispositivo técnico con una enorme gama de aplicaciones, pero esto no parece hacer justicia al concepto.
