Es $f(x + dx) -f(x) = f'(x) \,\mathrm dx$ ¿una ecuación válida?

Question

$\def\d{\mathrm{d}}$ Sabemos que es cierto que $$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) -f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x + \d x) -f(x)}{\d x} = f'(x),$$ donde $\d x$ se define como un infinitesimal.

Entonces podríamos reordenar la ecuación y decir que $$f(x + \d x) -f(x) = f'(x) \,\d x.$$

¿Será válida o correcta esta última ecuación?

Actualización. ¿Está usted de acuerdo en que:

$$f'(x) \,\d x = \int_{x}^{x+\d x}f'(x)\,\d x.$$

¿Es esta última ecuación válida o tiene sentido? ¿Significa algo si se pone un $dt$ ¿en el límite? Lo que quería decir con válido es que sería posible aplicarlo como en el contexto de la pregunta aquí

Answer 1

Sí, es válido, utilizamos este resultado en los casos en los que queremos encontrar un valor aproximado sin utilizar la calculadora. Por ejemplo, digamos que queremos el valor de $\sqrt {64.1}$ por lo que definimos $f (x)=\sqrt {x}$ entonces usando su ecuación su $\sqrt {64.1} \approx \sqrt {64}+0.1 \frac {1}{2\sqrt {64}}=8+0.1/16=8.00625$

Answer 2

En cuestiones que implican este tipo de trucos, la expansión de la serie de Taylor es siempre útil y muy potente
De la expansión de la serie Taylor de $f(x + dx)$ sobre $x=x$ ,
$$\begin{equation} f(x+dx)=f(x)+f^{'}(x)dx+f^{''}(x)(\frac{(dx)^{2}}{2!}) +f^{'''}(x)(\frac{(dx)^{3}}{3!}) + .... \end{equation}$$ Si $f(x)$ y todas las derivadas están definidas en $x=x$ entonces podemos aproximar la ecuación anterior despreciando los términos de orden superior bajo la siguiente suposición de que nuestro tamaño de paso $dx$ tiende a $0$ .
Y tenemos la siguiente relación $$\begin{equation} f(x+dx)\approx f(x)+f^{'}(x)dx \end{equation}$$ $$\begin{equation} f(x+dx)- f(x) \approx f^{'}(x)dx \end{equation}$$
Sin embargo, esto es sólo una aproximación, no es un signo de igualdad exacto porque has descuidado los términos de orden superior.
Esta expansión de la serie de Taylor limitante tiene numerosas aplicaciones, especialmente en la ciencia computacional y los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
(Lo siento, pero no tengo buenas habilidades con el látex :) )

Actualización: Para responder a tu pregunta en la actualización, no veo error en esa ecuación pero de nuevo debería tener signo aproximado y la derivada debería estar definida

Answer 3

La ecuación sólo es válida cuando existe el diferencial.

Answer 4

La ecuación $f(x+dx)-f(x)=f'(x)\>dx$ es una identidad válida en las variables $x$ y $dx$ sólo en el caso de que $f(x)=ax+b$ para ciertas constantes $a$ y $b$ . Pero esto no es lo que tiene en mente.

Por otro lado, si $f$ es diferenciable en el punto $x$ entonces $$f(x+dx)-f(x)=f'(x)\>dx+o(dx)\qquad(dx\to0)\ .$$ Este es un declaración verdadera y precisa que se desprende inmediatamente de la definición de la derivada. Significa que en la ecuación aproximada $$f(x+dx)-f(x)\approx f'(x)\>dx\qquad(dx\to0)$$ el error es de un orden de magnitud esencialmente menor que el término $f'(x)\>dx$ en el lado derecho (al menos, cuando $f'(x)\ne0$ ).