Propiedad perturbación de base Orthonormal para el espacio de Hilbert

Question

Supongamos que $\{e_i\}_{i\in I}$ es una base ortonormal para un espacio de Hilbert. $\{f_i\}_{i\in I}$ es una familia ortonormal con el % de propiedad $\sum^\infty_{i\in I} \|e_i-f_i\|^2<\infty$, que $\{f_i\}_{i\in I}$ es también base orthonormal.

Puedo pensar en un $x$ $(x,f_i)=0$ % todo $i$, prueba $x=0$. Sin embargo, no sé cómo continuar al siguiente paso.

Answer 1

Deje $H$ el valor del dado el espacio de Hilbert. Como señaló el cobre.sombrero, uno puede asumir $I=\mathbb{N}$. Primero observar que $$ \sum_{i=1}^\infty \lvert 1 - \langle e_i,f_i\rangle\rvert^2 + 2\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=i+1}^\infty \lvert \langle f_j,e_i\rangle\rvert^2 = \sum _{i = N + 1} ^{\infty} \lVert e _i - \sum_{j=1}^\infty \langle e_j,f_i\rangle e_j \rVert ^{2} = \sum _{i = 1} ^{\infty} \lVert e _i - f _i \rVert ^{2}. $$ Pick $N\in\mathbb{N}$ tal que \begin{align*} \sum _{i = N + 1} ^{\infty} \lVert e _i - f _i \rVert ^{2} &< 1/2, \\ \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=N+1}^\infty \lvert \langle f_j,e_i\rangle\rvert^2 &< 1/2. \end{align*}

Definir $E_N=\overline{\mbox{span}}(e_{N+1},e_{N+2},\ldots)$$F_N=\overline{\mbox{span}}(f_{N+1},f_{N+2},\ldots)$. Para un subespacio cerrado $A\subseteq H$, vamos a $P_A$ el valor de la proyección ortogonal en $A$$H$. Entonces nos encontramos con la \begin{align*} \lVert P_{E_N} - P_{F_N} \rVert_{\text{HS}}^2 & = \sum_{i=1}^N \lVert P_{F_N}e_i \rVert^2 + \sum_{i=N+1}^\infty \lVert e_i - P_{F_N}e_i \rVert^2 \\ & = \sum_{i=1}^N \sum_{j=N+1}^\infty \lvert\langle f_j,e_i\rangle \rvert^2 + \sum_{i=N+1}^\infty \lVert e_i - P_{F_N}e_i \rVert^2 \\ & \leqslant \sum_{i=1}^N \sum_{j=N+1}^\infty \lvert\langle f_j,e_i\rangle \rvert^2 + \sum_{i=N+1}^\infty \lVert e_i - f_i \rVert^2 < 1. \end{align*} Por lo tanto, hemos $$ \lVert P_{E_N^\asesino} - P_{F_N^\asesino} \rVert_{\text{HS}}^2 = \lVert P_{E_N} - P_{F_N} \rVert_{\text{HS}}^2 < 1. $$ Pero esto implica que $\dim F_N^\perp = \dim E_N^\perp = N$, y por lo tanto $F_N^\perp = \mbox{span}(f_1,\ldots,f_n)$. Que era lo que queríamos!