demostrar que $(n+1)(n+2)...(2n)$ es divisible por $2^n$ pero no por $2^{n+1}$

Question

¿Esta prueba es correcta?

Supongamos que $2^k$ es la mayor potencia de $2$ en la secuencia $n+1, n+2, ... 2n$

Entonces podemos calcular la potencia de 2 en el producto como $n/2 + n/2^2 + ... n/2^k = n(1 + 2 + .... 2^{k-1})/2^k = n$ .

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\dfrac{(n+1)(n+2)\dots (2n)}{1\cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)} = \dfrac{(2n)!/n!}{(2n)!/(2\cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2n))} = \dfrac{(2n)!/n!}{(2n)!/(2^n n!)} = 2^n$$

Por lo tanto, $$(n+1)(n+2)\dots (2n) = 1\cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1) \cdot 2^n$$

Desde la primera $n$ los multiplicadores de la derecha son todos Impares, la máxima potencia de dos que divide el producto en cuestión es efectivamente $2^n$ .

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Esta solución se intuye por la siguiente vía.

En primer lugar, está claro que todo número natural $m$ puede representarse de la forma $$m = 2^k \operatorname{maxodd}(m)$$ donde $2^k$ es la máxima potencia de dos que divide $m$ y $\operatorname{maxodd}(m)$ es el máximo divisor impar de $m$ .

Tenga en cuenta que los números en el rango $[n+1, 2n]$ tienen diferentes divisores máximos de impar . En efecto, si para dos números diferentes de este rango sus máximos divisores Impares fueran iguales, uno de ellos debería ser al menos dos veces mayor que el otro, lo cual es imposible. Esto significa que cada uno de los números $1, 3, 5, \dots, 2n-1$ (aquí están exactamente $n$ números) debe ser el máximo divisor impar para exactamente un número de $[n+1, 2n]$ gama.

Por ejemplo, si $n=5$ entonces $[n+1, 2n] = \{6, 7, 8, 9, 10\}$ y los máximos divisores de impar son $\{3, 7, 1, 9, 5\} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ .

Esto significa que la potencia de dos en el producto es igual a

$$\dfrac{(n+1)(n+2)\dots (2n)}{1\cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)} = \dfrac{(2n)!/n!}{(2n)!/(2\cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2n))} = \dfrac{(2n)!/n!}{(2n)!/(2^n n!)} = 2^n$$

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \pars{n + 1}\cdots\pars{2n} & = {\pars{2n}! \over n!} = {\pars{2n}\pars{2n - 1}\pars{2n - 2}\pars{2n - 3}\cdots 3.2 \over n!} = 2^{n}\prod_{k = 1}^{n}\pars{2k - 1} \end{align}

Answer 3

También se puede proceder por inducción.

Dejemos que $a_n = (n+1)(n+2)\ldots(2n)$ .

Entonces $a_{n+1}/a_n = (2n+1)(2n+2)/(n+1) = 2(2n+1)$ .
Desde $2n+1$ es impar, sólo uno $2$ se añade en cada paso.

Desde $a_1 = 2^1$ , se obtiene $a_n = 2^n \times o_n$ donde $o_n$ es un número impar

Answer 4

Podemos escribir como $$(n+1)(n+2)...(2n)=\frac{2n!}{n!}\tag1$$ Ahora vamos a calcular la potencia de $2$ contenida en $2n!$ $$\text{Power of }2 \text{ in } 2!=\frac{2n}{2}+\frac{2n}{2^2}+\frac{2n}{2^3}+\frac{2n}{2^4}\ldots\\=2n\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\ldots\right)\\=2n\left(\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac12}\right)\\=2n$$ lo que significa $$2n!=2^{2n}\times a$$

Del mismo modo, el poder de $2$ contenida en $n!$ $$\text{Power of }2 \text{ in } 2!=\frac{n}{2}+\frac{n}{2^2}+\frac{n}{2^3}+\frac{n}{2^4}\ldots\\=n\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\ldots\right)\\=n\left(\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac12}\right)\\=n$$ lo que significa $n!=2^{n}\times b\tag{Note that $ b|a $}$
$\therefore$ ecuación $(1)$ puede escribirse como $$(n+1)(n+2)...(2n)=\frac{2^{2n}\times a}{2^{n}\times b}$$ $$(n+1)(n+2)...(2n)=\frac{2^{n}\times a}{b}$$