Hallar la derivada de una función con el conjunto vacío del dominio

Question

Me han pedido que encuentre la derivada de la función $$ \sin^{-1}(e^x + 3). $$ Primero pensé en la regla de la cadena, pero algo me pareció extraño en la función. El dominio de $\sin^{-1}$ es $[-1,1]$ y $e^x + 3$ es siempre estrictamente mayor que $3$ . Creo que hay un error en el problema, pero asumiendo que no lo hay: ¿qué es exactamente la derivada de una función como ésta que "no existe"? (¿Es cierto que la función no existe?)

Answer 1

El derivado existe, pero como resultado de un proceso formal. En $ \sin^{-1}(e^x + 3)$ poner $u=e^x+3.$ La regla de la cadena nos da

$$ \frac{d}{dx}\sin^{-1}(e^x + 3) =\frac{d}{dx}\sin^{-1}(u)= \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}=\frac{e^x}{\sqrt{1-(e^x+3)^2}}.$$

El mapa de derivadas ni siquiera notó el dominio o rango de $\sin^{-1}(x),$ ya que en este tipo de cálculo simplemente estamos aplicando un algoritmo.

Otra cosa que hay que notar, es que $e^x+3>3,$ como has señalado, por lo que la derivada tampoco está definida, ya que el denominador siempre será la raíz cuadrada de un número negativo.

En cierto modo, lo que toca aquí es mucho más profundo. Mira $\ln(x)$ por ejemplo. Nunca lo consideramos como una composición de $x$ con $\ln(x),$ ya que esto parece una tontería. Sin embargo, $x$ tiene dominio $\Bbb{R},$ y $\ln$ tiene dominio $\Bbb{R}_{>0}.$ Las funciones que el mapa de derivadas $\frac{d}{dx}$ puede evaluar no necesariamente van a tener sentido. Pero como proceso formal existirán, porque se trata de un mapa lineal sobre una colección de funciones que se definen de manera formal.

Answer 2

Probablemente puedas entenderlo como una operación sobre series de potencias formales, que pueden ser manipuladas de forma consistente y a menudo son útiles incluso si no convergen.

Para la serie de potencias de $\arcsin$ :

Encontrar la serie de potencias de $\arcsin x$

A continuación, sustituya la serie de potencias por $e^x +3$ , ampliar y diferenciar término por término. La respuesta será bastante fea. Será la serie de potencias formal de la "función" que se obtiene aplicando ingenuamente la regla de la cadena para calcular la "derivada".

Dudo que esto sea lo que tenía en mente la persona que escribió la pregunta. Sospecho que se trata de un error tipográfico o de una simple desconsideración.

Answer 3

Bueno, no existe en los reales, pero si se sustituye $x \in \mathbb{R}$ para $z \in \mathbb{C}$ entonces tienes una función bien definida, y $sin(z)$ no está acotado. También es fácil ver que las mismas reglas de derivación funcionan para funciones de (un subconjunto abierto de) $\mathbb{C}$ a $\mathbb{C}$ .

Answer 4

Exploremos la función seno imaginario por un segundo.

El seno se define como:

$$ \sin (x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} $$ se puede ver que $$ \sin (x+2\pi n) = \frac{e^{i(x+2\pi n)}-e^{-i(x+2\pi n)}}{2i} = \frac{e^{2\pi n i} e^{ix} - e^{-2\pi n i}e^{-ix}}{2i} = \frac{1\cdot e^{ix} -1\cdot e^{-ix}}{2i} = \sin x $$ Así que en el plano complejo, todavía hay un carácter periódico para la función seno (de $2\pi$ ). Por ello nos limitaremos a la parte del plano con $ -\pi < Re(x) \leq \pi$ .

Ahora vamos a averiguar cuándo $\sin z = a > 1 $ : $$ \sin z = a \Rightarrow e^{iz} - e^{-iz} = 2ia \Rightarrow e^{2iz} - 2ia e^{iz} - 1 = 0 $$ $$ e^{iz} = \frac{2ia \pm \sqrt{-4a^2 + 4}}{2} = \frac{2ia \pm 2i\sqrt{a^2-1} }{2} = (a \pm \sqrt{a^2-1})i$$

Lo que significa que si $z=x+iy$ entonces $$ e^{ix} e^{-y} = (a\pm \sqrt{a^2-1} ) e^{i\frac{\pi}{2}} \Rightarrow $$ $$ x= \frac{\pi}{2} , -y = \log (a \pm \sqrt{a^2-1}) $$ Ambas soluciones son correctas e igualmente legítimas.

Recuerda que $$ (\arcsin z)' = \frac{1}{\sin'(\arcsin z)} = \frac{1}{\cos \arcsin z} $$

Pero, ¿cuál es el coseno en cada punto? $$ \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2i} $$ Primer caso: $$e^{iz} = (a+\sqrt{a^2-1})i \Rightarrow e^{-iz}=\frac{1}{e^{iz}} = \frac{1}{a+\sqrt{a^2-1}}\cdot -i $$

Ahora puedes sustituirla en la definición de la función coseno y obtener una única solución para la derivada en el plano complejo. Para la segunda solución puedes hacer lo mismo.

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PERO, todo eso está muy bien cuando hablamos del plano complejo y $\arcsin (e^x+3)$ se define. Si hablamos de $\mathbb{R} $ La función ni siquiera está definida, seguramente no se puede derivar ni nada.

Answer 5

La parte fundamental de la definición de una derivada es que la función debe estar definida en el punto considerado. La ecuación de definición $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$ no tiene sentido a menos que $f(x)$ tiene sentido (además, también debe asegurarse de que $f(x + h)$ tiene sentido para valores suficientemente pequeños de $h$ ). Así que la respuesta correcta al problema es que como la función en cuestión no existe, no tiene sentido siquiera considerar la derivada de la función .

Algunas respuestas mencionan el hecho de que la función podría considerarse una función compleja de una variable real. Esto no se menciona específicamente en ninguna parte del problema y, si realmente queremos ser lo bastante imaginativos, bien podemos considerar que se trata de una función de una variable compleja. Y esto cambia por completo la naturaleza del problema. Las funciones de una variable compleja son muy distintas de las funciones habituales de una variable real que se ven en los cursos introductorios de cálculo.

Otro aspecto que se menciona en otras respuestas se refiere a la diferenciación formal. Este aspecto es sólo para polinomios (y también series de potencias como el usuario Ethan Bolker menciona en un comentario) porque para tales funciones se puede desarrollar formalmente sin ninguna referencia a la definición de límites (y las leyes de las derivadas siguen siendo las mismas). El enfoque no funciona para funciones arbitrarias. Uno puede intentar desarrollar un enfoque formal restringiéndose a funciones elementales, pero entonces las reglas de la diferenciación deben darse por sentadas como axiomas y perdemos teoremas del cálculo diferencial, por lo que la idea de la diferenciación formal no suena muy atractiva. Desgraciadamente, la idea de que las derivadas pueden manejarse formalmente (sin apelar a procesos límite) es algo que ha calado y que los estudiantes utilizan rutinariamente en la evaluación de límites a través de la Regla de L'Hospital.

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Lo mejor es tratar este problema como un error tipográfico y, por suerte, es fácil de detectar. Un error ligeramente "difícil de detectar" se produjo hace tiempo en una oposición real en la India .