¿Cómo pueden ser equivalentes una taza y un toro si la taza es quiral?

Question

No sé mucho sobre topología, pero el otro día estaba pensando en la equivalencia topológica (clásica?) de una taza de café - dona. Me di cuenta de que un cilindro con un extremo abierto y una asa en un lado (una taza) es un objeto quiral en el espacio 3D, mientras que un toro/dona es aciral ("meso", como se indica por los planos internos de simetría presentes en un toro).

EDICIÓN: Acabo de darme cuenta de que la taza podría no ser quiral, debido a un plano interno de simetría (vertical, a través del asa). Pero dejaré la publicación ya que algunas de las preguntas siguen siendo relevantes, y aún me interesa el ejemplo arbitrario de cómo la topología maneja un objeto quiral que se transforma en un objeto aciral.

Como observador externo, mi impresión es que la topología es aproximadamente "la matemática cualitativa de las formas"; ¿es esto preciso de alguna manera? Esperaría que un campo así estuviera muy preocupado por fenómenos como la quiralidad, la falta de superposición de dos imágenes especulares de un objeto 3D. Desde otro punto de vista, la quiralidad es la razón por la que tenemos una convención de "regla de la mano derecha", o la razón misma por la que podemos distinguir entre un sistema de coordenadas derecho e izquierdo. Para mí, la quiralidad parece ser una propiedad emergente, una asimetría que surge cuando el objeto/espacio es suficientemente complejo.

Entonces, cuando se afirma que un objeto quiral y un objeto aciral son topológicamente equivalentes, ¿hay alguna advertencia no mencionada sobre la quiralidad? ¿Quizás a los topólogos realmente no les importa la quiralidad, ya que no impide que su material infinitamente maleable se transforme entre las dos formas? Si es así, entonces mi pregunta es ¿cuál es la importancia de la quiralidad en la topología?

Y si me permiten, estas preguntas se basan en este razonamiento:

Si un objeto 3D que es quiral en el espacio 3D se ve en un espacio de cuatro dimensiones, ¿se consideraría aciral ("meso")? (Análogo a un objeto 2D que se considera aciral en el espacio 3D, si no me equivoco.)

¿Hay alguna utilidad en definir la quiralidad de objetos 2D en el espacio 2D? ¿Existe alguna noción generalizada de quiralidad para un espacio de $n$ dimensiones, alguna "quiralidad-$n$"?

Answer 1

Otras respuestas han dicho que la topología no puede distinguir la quiralidad, pero esto no es del todo cierto. Topológicamente un guante izquierdo y derecho son idénticos, porque la reflexión izquierda-derecha es continua en ambas direcciones. La diferencia entre los guantes izquierdo y derecho no es intrínseca a los guantes mismos, sino en la forma en que los guantes están incrustados en el espacio tridimensional.

Considera esta analogía: El símbolo b se puede convertir en d, pero para hacerlo tienes que levantar el b fuera del plano y darle la vuelta. Si dejas el b y el d incrustados en el plano nunca puedes convertir uno en otro (aunque puedes convertir b en q y d en p) así que la diferencia no está en las formas en sí, sino en la forma en que ocupan el plano. Los guantes izquierdo y derecho son distinguibles si permanecen en el espacio tridimensional. Pero en espacios más grandes, son idénticos. Es fácil convertir un guante izquierdo en un guante derecho si puedes levantarlo en un espacio de cuatro dimensiones y darle la vuelta.

La rama de la topología llamada teoría de nudos se refiere a la forma en que las formas simples como los círculos se pueden incrustar en tres dimensiones. Topológicamente un lazo enredado de cuerda y uno no enredado son iguales, pero de nuevo, sus incrustaciones en el espacio tridimensional son diferentes. Para tratar con esto topológicamente se requiere un esfuerzo adicional. Se incrusta el lazo enredado en el espacio y luego se considera si existe una transformación continua de todo el espacio, incluyendo el lazo, que transforma el lazo enredado en el no enredado. Visto de esta manera se puede decir que un nudo trebolino (mostrado abajo) es quiral, porque aunque cada uno es topológicamente equivalente a un círculo liso, el nudo trebolino zurdo nunca se puede transformar suavemente en el diestro, en el sentido del párrafo anterior, sin sacarlo del espacio tridimensional. Esto parece ser lo que estás buscando.

Pero ¿qué tal si consideramos el ejemplo de la taza de café y el toro? La taza de café no es quiral en este sentido. Tiene un asa en el lado izquierdo. ¿Podríamos deformar el espacio para mover el asa al lado derecho? Por supuesto que podríamos: simplemente gira la taza, ahora el asa está en el otro lado. No se necesita una cuarta dimensión. (También hay muchas otras formas de llevar el asa al otro lado.)

Preguntaste:

Sigo interesado en el ejemplo arbitrario de cómo la topología maneja un objeto quiral transformándose en un objeto aciral.

Esto nunca sucede. Deja que $C$ sea algún objeto quiral y deja que $\bar C$ sea la imagen especular del objeto. Dado que $C$ es quiral, $C$ no puede transformarse en $\bar C$ sin sacarlo del espacio ambiente.

Pero dices que $C$ puede transformarse en algún objeto aciral $A$. Pero claramente $\bar C$ podría transformarse en $A$ por el mismo método (excepto reflejado). Pero luego podemos convertir $C$ en $A$ usando tu método, y luego $A$ en $\bar C$ usando el método reflejado, pero en reversa. Así que hay una forma de convertir $C$ en $\bar C$ después de todo, y por lo tanto $C$ nunca fue quiral en primer lugar.

Si un objeto 3D que es quiral en el espacio 3D se ve en un espacio de cuatro dimensiones, ¿se consideraría aciral ("meso")?

Sí, siempre. Porque si $C$ y $\bar C$ son versiones izquierda y derecha de la misma cosa, entonces son idénticos bajo una simetría de reflexión, y en el espacio de cuatro dimensiones esto es simplemente una rotación, al igual que una reflexión del plano se puede realizar como una rotación del espacio tridimensional.

Pero puede interesarte saber que hay análogos de dimensiones superiores de círculos enredados: en cuatro dimensiones se pueden tener enredos de una esfera que pueden ser zurdos o diestros, y que se vuelven idénticos cuando estos nudos quirales son levantados a cinco dimensiones.

Answer 2

Por lo general, se afirma que la topología es "geometría menos forma", lo que significa que estamos ignorando por completo la forma exacta de un objeto. Otro ejemplo clásico sería una esfera (esfera + interior) que es equivalente a un cubo (sólido). La esfera tiene infinitas simetrías, mientras que un cubo solo tiene un grupo de simetría finito. La equivalencia topológica solo se preocupa por preservar un tipo de relación de cercanía entre los puntos de un objeto, es decir, la homeomorfismo ("isomorfismo" topológico) no cortará o rasgará los objetos.

Desde un punto de vista topológico, ningún objeto es distinguible de su imagen especular. El mapa $f:(x_1,..., x_n)\mapsto (-x_1, x_2,..., x_n)$ es un homeomorfismo en los espacios topológicos más significativos geométricamente hablando. Al final, un topólogo solo puede determinar un objeto hasta una transformación continua. No reconocerá ninguna traslación, rotación, estiramiento, espejo o cizallamiento.

Answer 3

La taza tal como se muestra en la imagen no es quiral. Tiene un plano de espejo a través del asa y el centro donde va el líquido. En cualquier caso, la topología no depende de la simetría del grupo puntual y por lo tanto no depende de la quiralidad.

Answer 4

Entonces, cuando se afirma que un objeto quiral y un objeto aciral son topológicamente equivalentes, ¿hay alguna advertencia desconocida sobre la quiralidad?

No, es simplemente una noción de equivalencia que no se preocupa por el número de simetrías que tiene el objeto. De manera similar, cuando decimos que dos enteros son equivalentes módulo dos, no hay alguna advertencia no declarada sobre posiblemente ser de diferentes tamaños: hemos elegido una noción de equivalencia que solo se preocupa por si los números son pares o impares, y no se preocupa por sus tamaños.