Una función analítica suave en ninguna parte tal que todas las derivadas sean monótonas

Question

Preguntas relacionadas que podrían proporcionar algo de contexto: (1) (2) (3) (4)

---

Vamos a restringir nuestra atención a funciones de valores reales en un intervalo unitario abierto $f:(0,1)\to\mathbb R$. Existen ejemplos $\!^{[1]}$$\!^{[2]}$ de funciones suaves (clase $C^\infty$) que en ninguna parte son real-analíticas. ¿Existe una función suave en ninguna parte analítica tal que la función en sí y sus derivadas de cualquier orden sean monótonas?

Answer 1

La respuesta es negativa. Todas esas funciones son analíticas. Para las funciones totalmente monótonas fue demostrado por Bernstein, y para el caso general ver J. A. M. McHugh "Una prueba del teorema de Bernstein sobre funciones regularmente monótonas".