Demostrar para cualquier número real positivo $a,b,c$ $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{a+b+c}{3}$

Question

Como las hojas del problema dicen que debo utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, he utilizado

$\frac{{a_1}^2}{x_1}+\frac{{a_2}^2}{x_2}+\frac{{a_3}^2}{x_3}$ $\geq \frac{(a_1+a_2+a_3)^2}{x_1+x_2+x_3}$

Primero he multiplicado cada término por $a,b,c$ para conseguir un cuadrado perfecto en la parte superior como

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}$ $=\frac{a^4}{a(a^2+ab+b^2)}+\frac{b^4}{b(b^2+bc+c^2)}+\frac{c^4}{c(c^2+ca+a^2)}$ $\hspace{120pt}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)} $

Pero sigo atascado durante unas horas. Esto no es una tarea, pero es un conjunto de problemas para preparar el AMC/USAMO.

(Nota: Empecé con una pregunta general y se cerró como fuera de tema. Ahora tengo otra pregunta genuina de Matemáticas, y sólo estoy tratando de ver si math.se va a ser útil)

Answer 1

Dejemos que $S$ sea la suma del lado izquierdo y $T$ sea la suma:

$\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}$

Entonces $S-T = (a-b)+(b-c)+(c-a)=0$

Por lo tanto, basta con mostrar $S+T \geq \frac{2(a+b+c)}{3}$ . Podemos conseguirlo mostrando $\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{a+b}{3}$ La desigualdad es equivalente a $a^2+b^2\geq 2ab$ .

Answer 2

$ \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} =\frac{a^4}{a(a^2+ab+b^2)}+\frac{b^4}{b(b^2+bc+c^2)}+\frac{c^4}{c(c^2+ca+a^2)} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)} \tag{1} $

Recuerde

$\frac{{a_1}^2}{x_1}+\frac{{a_2}^2}{x_2}+\frac{{a_3}^2}{x_3} \geq \frac{(a_1+a_2+a_3)^2}{x_1+x_2+x_3} \tag{2}$

$ a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) $ $= a^3+b^3+c^3+a^{2}b+ab^2+b^{2}c+bc^2+c^{2}a+ca^2$ $= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \tag{3}$

Desde $(1) $ y $(3)$

$ \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} $ $\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ $\geq\frac{a^2}{a+b+c}+\frac{b^2}{a+b+c}+\frac{c^2}{a+b+c}$

Aplicando ahora $(2)$ de nuevo a la expresión de la derecha

$ \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}$ $\geq \frac{a^2}{a+b+c}+\frac{b^2}{a+b+c}+\frac{c^2}{a+b+c}$ $\geq \frac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{3}$