Demostrar que la ecuación trigonométrica no tiene solución

Question

Demostrar que la ecuación trigonométrica $$\frac{\sin^3 x}{1-\sin x}+\frac{\cos^3 x}{1-\cos x}=-1$$ has no solution. I tried applying $ de T2 $ lemma to contradict but could only do so for the first and third quadrant values if $x $. There must be some good proof without the restrictions in the values of $x$. Gracias.

Answer 1

Nota que el lado derecho es igual a $-\sin^2 x - \cos^2 x.$ hacia el lado izquierdo de estos términos y adición de las fracciones obtenemos $$ \frac{\sin^2 x}{1-\sin x} + \frac{\cos^2 x}{1-\cos x} =0,$% $# %1/2 de #%.

Answer 2

$$\frac{\sin^3x}{1-\sin x}+\frac{\cos^3x}{1-\cos x}=-1\tag1$$

Sea $f(x)$ la LHS de $(1)$. Entonces, por la desigualdad de AM-GM, tenemos $$\begin{align}f(x)&=\frac{(1-\sin x)(-\sin^2x-\sin x-1)+1}{1-\sin x}+\frac{(1-\cos x)(-\cos^2x-\cos x-1)+1}{1\cos x}\\&=-\sin^2x-\sin x-1+\frac{1}{1-\sin x}-\cos^2x-\cos x-1+\frac{1}{1-\cos x}\\&=-1-\sin x-1+\frac{1}{1-\sin x}-\cos x-1+\frac{1}{1-\cos x}\\&=(1-\sin x)+\frac{1}{1-\sin x}+(1-\cos x)+\frac{1}{1-\cos x}-5\\&\ge 2\sqrt{(1-\sin x)\cdot\frac{1}{1-\sin x}}+2\sqrt{(1-\cos x)\cdot\frac{1}{1-\cos x}}-5\\&=2+2-5\\&=-1\end{align}$ $

Así, tenemos $f(x)\ge -1$.

La igualdad se alcanza cuando $1-\sin x=\frac{1}{1-\sin x}$ y $1-\cos x=\frac{1}{1-\cos x}$, es decir, cuando $\sin x=\cos x=0$, pero no hay ningún tal $x$. Así pues, tenemos $f(x)\gt -1$.

Por lo tanto, $(1)$ no tiene solución.

Answer 3

Es puramente algebraica. Su ecuación es equivalente a\begin{align*}&\sin^3x+\cos^3x-\sin^3x\cos x-\sin x\cos^3x=\sin x+\cos x-\sin x \cos x-1\\ &\iff (\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)-\sin x\cos x=\sin x+\cos x -\sin x\cos x-1\\ &\iff -(\sin x+\cos x)\sin x\cos x=-1\iff\sqrt2\cos\Bigl(x-\frac\pi4\Bigr) \frac12\sin 2x=1\\&\iff\cos\Bigl(x-\frac\pi4\Bigr)\sin 2x=\sqrt 2 \end{align*} que por supuesto no tiene solución desde $\sqrt2>1$.

Answer 4

Despejar fracciones, re-puede escribir la ecuación de $$\cos x + \sin x - \cos 3 x + \sin 3 x = 4$ $

La izquierda sólo puede igualar el lado derecho si todos los términos golpeó su valor máximo de $1$ de la $x$, pero esto es imposible. (Además, $\sin x = 1$ y $\cos x = 1$ son descalificados por la original forma de la ecuación.)

Answer 5

$$\frac{\sin^3 x}{1-\sin x}+\frac{\cos^3 x}{1-\cos x}=-1$$

Obviamente $\sin x\neq 0$ y $\cos x\neq 0$. $$\sin^3 x(1-\cos x)+\cos^3 x(1-\sin x)=-1 -\sin x\cos x+\sin x+\cos x$$

$$\sin^3 x+\cos^3 x-\sin x\cos x(\sin^2 x+\cos^2 x)=-1 -\sin x\cos x+\sin x+\cos x$$

$$\sin^3 x+\cos^3 x-\sin x-\cos x=-1 $$

$$(\sin x+\cos x)(\sin ^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x -1)=-1$$

$$(\sin x+\cos x)\sin x \cos x=1. $ $ Seguiría que $(\sin x+\cos x)^2\sin^2 x\cos^2 x=1.$

$(1+2\sin x\cos x)\sin^2 x\cos^2 x=1$

$(1+\sin (2x))\sin ^2(2x)=4$, que no tiene solución. Espero que los cálculos están bien.