Estoy interesado en encontrar algunos resultados para tetraedro que sería analoguous a resultados conocidos para el triángulo. En el triángulo con circunradio R y inradius r, si tenemos en cuenta la excircles $r_i$, luego de que su suma la fórmula $$\sum r_i = 4R + r$$ sostiene. Me pregunto si hay fórmula similar para la suma de los exradii de la exspheres del tetraedro en términos de los radios de la circunradio y inradius de la circunscrita e inscrita esferas? $$\sum r_i = ? \quad i = 1,..,4.$$ Tal vez usted haya visto problemas similares, o que me puedan dar referencias en las que para la búsqueda aún más. Gracias.
Respuesta
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Tal relación no existe.
Primero vamos a escribir algo que se sabe acerca de la esfera y ex-esferas de dimensiones superiores.
Para cualquier $d \ge 2$, considere la posibilidad de $d+1$ $\vec{v}_1, \vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_{d+1} \in \mathbb{R}^{d}$ en posición general. Deje $\Delta$ $d$- simplex formado por estos $d+1$ puntos. Deje $A_k$ ser la zona de la cara en $\partial\Delta$ frente a un $\vec{v}_k$. Deje $A = \sum\limits_{k=1}^{d+1} A_k$ ser el total de la "zona" y $V$ ser el "volumen" del simplex $\Delta$.
Deje $r$ $\vec{c}$ ser el radio y el centro de la esfera. Deje $r_k$ $\vec{c}_k$ ser el radio del centro de la ex-esfera en la cara opuesta al vértice $\vec{r}_k$. En términos de$A_k$$V$, están dados por $$\begin{cases} r =& \frac{dV}{A}\\ \\ \vec{c} =& \frac{1}{A}\sum\limits_{k=1}^{d+1} A_k \vec{v}_k\\ \end{casos} \quad\text{ y }\quad \begin{cases} r_k =& r\frac{A}{A-2A_k} = \frac{dV}{A - 2A_k}\\ \\ \vec{c}_k =& \frac{r_k}{r} \vec{c} + \left(1 - \frac{r_k}{r}\right) \vec{v}_k\\ \end{casos}$$ En particular, esto significa que en cualquier dimensión, tenemos una relación entre el$r_k$$r$. $$\sum_{k=1}^{d+1} \frac{1}{r_k} = \frac{d-1}{r}$$ Se aplican $AM \ge HM$ a la lista de exradii $r_k$, se obtiene un límite inferior para la suma:
$$\frac{1}{d+1}\sum_{k=1}^{d+1}r_k \ge \frac{1}{\frac{1}{d+1}\sum_{k=1}^{d+1}\frac{1}{r_k}} \quad\implica\quad \sum_{k=1}^{d+1}r_k \ge \frac{(d+1)^2}{d-1} de r$$
Nos deja de nuevo a nuestro problema original en $d = 3$. Le gusta mostrar
Para cualquier $R > 3$$K \gtrsim \frac{(d+1)^2}{d-1} = 8$, hay un tetraedro cuyos circunradio es $R$, inradius $1$ y $\sum\limits_{k=1}^{4} r_k = K$ siempre $K$ es lo suficientemente cerca de a $8$.
Para cualquier $0 < s < p < R$, vamos a $q = \sqrt{R^2-p^2}$$t = \sqrt{R^2 - s^2}$. Considere la posibilidad de el tetraedro formado por los siguientes 4 puntos sobre una esfera de radio $R$:
$$\vec{v}_1 = (p, -p, 0),\; \vec{v}_2 = (p, q, 0),\;\vec{v}_3 = (s,0,t)\;\text{ y }\; \vec{v}dimm_4 = (s,0,-t)$$
Es fácil de comprobar
$$V = \frac23 (p+s)qt \quad\text{ y }\quad \begin{cases} A_1 = A_2 = t\sqrt{(p+s)^2 + q^2}\\ A_3 = A_4 = q\sqrt{(p+s)^2 + t^2} \end{casos} $$ Esto implica $$r = \frac{3 V}{A} = \frac{(p+s)qt}{t\sqrt{(p+s)^2 + q^2} + p\sqrt{(p+s)^2 + t^2}}\\ \sum_{k=1}^4 r_k = \sum_{k=1}^4\frac{3V}{A-2A_k} = 2(p+s)qt \left(\frac{1}{t\sqrt{(p+s)^2 + q^2}} + \frac{1}{q\sqrt{(p+s)^2+t^2}}\right)$$
Introducir un pequeño parámetro $\sigma$ tal que $K = \frac{8}{1-\sigma^2}$. La condición de que $r = 1$ $\sum_{k=1}^4 r_k = K$ puede escribirse como
$$ \begin{cases} t\sqrt{(p+s)^2 + q^2} = \frac{1+\sigma}{2} (p+s)qt\\ q\sqrt{(p+s)^2 + t^2} = \frac{1-\sigma}{2} (p+s)qt \end{casos} \quad\ffi\quad \begin{cases} \frac{1}{q^2} + \frac{1}{(p+s)^2} = \left(\frac{1+\sigma}{2}\right)^2\\ \frac{1}{t^2} + \frac{1}{(p+s)^2} = \left(\frac{1-\sigma}{2}\right)^2\\ \end{casos} $$ Deje $p+s = 2\mu$, podemos reescribir la condición de RHS como
$$ \begin{cases} R^2 - p^2 = q^2 = 4\mu^2\Lambda_{+}(\mu)\\ R^2 - s^2 = t^2 = 4\mu^2\Lambda_{-}(\mu) \end{casos} \quad\text{ donde }\quad \begin{cases} \Lambda_{+}(\mu) = \frac{1}{(1+\sigma)^2\mu^2 - 1}\\ \Lambda_{-}(\mu) = \frac{1}{(1-\sigma)^2\mu^2 - 1} \end{casos} $$ Esto conducirá a una solución para $(p,s)$ de la de
$$\begin{cases} p = \mu \left( 1 + \Lambda_{-}(\mu) - \Lambda_{+}(\mu) \right)\\ s = \mu \left( 1 - \Lambda_{-}(\mu) + \Lambda_{+}(\mu) \right) \end{casos} $$ siempre se puede encontrar una raíz de $\mu$ para los siguientes consistencia condición:
$$R^2 = p^2 + 4\mu^2\Lambda_{+}(\mu) = \mu^2 \left( 1 + 2( \Lambda_{+}(\mu) + \Lambda_{-}(\mu)) + (\Lambda_{+}(\mu) - \Lambda_{-}(\mu))^2\right)$$
Deje $\Omega(\mu)$ ser la horrible expresión en la RHS. Aviso en el límite de la pequeña $\sigma$, tenemos $$\Omega(\sqrt{3}) \sim 3\left( 1 + 2( \frac{1}{3-1} + \frac{1}{3-1} )\right) = 3^2 < R^2$$ Desde $\Omega(R) > R^2$, hay un $\mu \in (\sqrt{3}, R)$ que satisfacer $R^2 = \Omega(\mu)$. El correspondiente $(p,s)$ nos dará un tetraedro con fijo circunradio y inradius y, sin embargo, la suma de exradii es algo arbitrario.
