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Cómo probar si G es un grupo con cada elemento no identidad orden 2 y H es un subgrupo, G/H es isomorfo a un subgrupo de G.

Esta no es una tarea problema. Me estoy preparando para un examen, y no tengo idea de cómo resolver este problema.

Deje G es un grupo tal que cada elemento de identidad tiene orden de 2. Deje H ser un subgrupo. Demostrar G/H es isomorfo a un subgrupo de G.

El hecho de que cada elemento de identidad tiene orden de 2 G es abelian (ya que para todas las a,bG,(ab)(ab)=eba=a1b1, pero a=a1 desde a2=e, y de la misma manera b=b1, lo ba=ab).

Desde G es abelian, H es un subgrupo normal de G. Por lo G/H es un grupo. Ahora, ¿qué? Sé que los subgrupos de G/H 11 correspondencia con subgrupos de G contiene H. ¿Esta ayuda?

8voto

DiGi Puntos 1925

Desde G es Abelian, voy a escribir de forma aditiva. Decir que AG es independiente de si F0G para todos finito FA. Utilizar el lema de Zorn para obtener una máxima independientes BG. Demostrar que para cada una de las xG hay un número finito de FxB tal que x=Fx; a continuación muestran que la Fx es único y deducir que G es un espacio vectorial sobre F2 con base B.

Ahora modificar la construcción por primera vez una base BH H y entonces se extiende a una base BG, y muestran que la G/H es isomorfo a un subgrupo generado por a BBH.

2voto

egreg Puntos 64348

G es un elemental 2 grupo, por lo que es un espacio del vector sobre el campo F2 con dos elementos. Cada subgrupo es un sumando directo.

1voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Con un poco de álgebra lineal: G es un espacio del vector sobre el campo F2 y el % de subespacio Hha un complemento.

Quedémonos en teoría del grupo, sin embargo: Let K<G ser un subgrupo maximal con KH=1 (usar el lema de Zorn). Mostrar que G/HK

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