Cómo probar si $G$ es un grupo con cada elemento no identidad orden 2 y $H$ es un subgrupo, $G/H$ es isomorfo a un subgrupo de $G$.

Question

Esta no es una tarea problema. Me estoy preparando para un examen, y no tengo idea de cómo resolver este problema.

Deje $G$ es un grupo tal que cada elemento de identidad tiene orden de $2$. Deje $H$ ser un subgrupo. Demostrar $G/H$ es isomorfo a un subgrupo de $G$.

El hecho de que cada elemento de identidad tiene orden de $2$ $G$ es abelian (ya que para todas las $a, b \in G, (ab)(ab) = e \implies ba = a^{-1}b^{-1}$, pero $a = a^{-1}$ desde $a^{2} = e$, y de la misma manera $b= b^{-1}$, lo $ba = ab$).

Desde $G$ es abelian, $H$ es un subgrupo normal de $G$. Por lo $G/H$ es un grupo. Ahora, ¿qué? Sé que los subgrupos de $G/H$ $1-1$ correspondencia con subgrupos de $G$ contiene $H$. ¿Esta ayuda?

Answer 1

Desde $G$ es Abelian, voy a escribir de forma aditiva. Decir que $A\subseteq G$ es independiente de si $\sum F\ne 0_G$ para todos finito $F\subseteq A$. Utilizar el lema de Zorn para obtener una máxima independientes $B\subseteq G$. Demostrar que para cada una de las $x\in G$ hay un número finito de $F_x\subseteq B$ tal que $x=\sum F_x$; a continuación muestran que la $F_x$ es único y deducir que $G$ es un espacio vectorial sobre $\Bbb F_2$ con base $B$.

Ahora modificar la construcción por primera vez una base $B_H$ $H$ y entonces se extiende a una base $B$$G$, y muestran que la $G/H$ es isomorfo a un subgrupo generado por a $B\setminus B_H$.

Answer 2

$G$ es un elemental $2$ grupo, por lo que es un espacio del vector sobre el campo $F_2$ con dos elementos. Cada subgrupo es un sumando directo.

Answer 3

Con un poco de álgebra lineal: $G$ es un espacio del vector sobre el campo $\mathbb F_2$ y el % de subespacio $H$ha un complemento.

Quedémonos en teoría del grupo, sin embargo: Let $K<G$ ser un subgrupo maximal con $K\cap H=1$ (usar el lema de Zorn). Mostrar que $G/H\approx K$