Funciones de la transición en múltiple

Question

Siguiente es dado como la definición de un colector en un libro que estoy leyendo.

Deje $\{U_{\alpha}:\alpha\in I\}$ libre de cobertura de una topológico de Hausdorff espacio de $X$ $\phi_{\alpha}$ ser homeomorphisms de $U_{\alpha}$ a abrir los subconjuntos de a $\mathbb{R}^m$ $m$ no entero negativo. Supongamos que existe un $k\in \mathbb{N}\cup\{\infty\}$ de manera tal que siempre que $U_{\alpha}\cap U_{\beta}\neq \emptyset$, tenemos $$\phi_{\alpha}\circ \phi_{\beta}^{-1}:\phi_{\beta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})\to \phi_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) \text{ is } C^k$$ Then $(X,\{(U_{\alpha},\phi_{\alpha}):\alpha\I\})$ is called a $C^k$ colector.

De alguna manera he desarrollado la intuición para el homeomorphisms $\phi_{\alpha}$ $U_{\alpha}$ a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{m}$ desde el artículo de la wikipedia. Pero soy incapaz de buid intuición para esta extraña condición de $$\phi_{\alpha}\circ \phi_{\beta}^{-1}:\phi_{\beta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})\to \phi_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) \text{ is } C^k$$

Alguien me puede ayudar a entender esto?

Answer 1

Hay una muy atractiva visualmente la imagen que va junto con esto, pero no ser capaz de dibujar en aquí voy a describir a usted.

Para cada punto de $x\in X$ sabemos que podemos encontrar algún conjunto abierto $U\subseteq X$ contiene $x$ tal que existe una incrustación $\phi:U\hookrightarrow\mathbb{R}^m$ que es homeomórficos a su imagen $U'$--un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^m$. Creo que visualmente que $U'$ se encuentra por encima de $X$ proyectando una sombra sobre $U$. Vamos a cimentar esta intuición por escrito $\phi$ en forma

$$\begin{array}aU'& &\\ & _\phi\searrow & \\ & & U\subseteq X\end{array}$$

Como usted ha mencionado no es definitivo intuición en cuanto a lo que esto significa. Esto significa que $\phi$ nos permite dar una especie de sistema de coordenadas para $U$ lo que nos permite geométricamente a pensar mirando como $U'$.

El problema con el anterior es que este "$U$", o más precisamente, lo que representa, no es única. Podemos igualmente encontrar algún otro conjunto abierto $V\subseteq X$ contiene $x$ y un homeomorphism $\psi:V\to V'\subseteq\mathbb{R}^m$ $V'$ abierto tal que se obtiene una imagen similar

$$\begin{array} & & V'\\ & \swarrow^\psi & \\ X\supseteq V & & \end{array}$$

Una vez más, podemos pensar de $V$, siendo sólo la sombra de $V'$, lo que nos permite pensar localmente alrededor de $x$ como normal subconjunto de $\mathbb{R}^m$.

Todavía no hemos averiguado exactamente por qué necesitamos esta extraña condición que usted menciona. Bueno, la idea es simple. Imaginar que estamos haciendo matemáticas cerca de $x$, y para hacer nuestra vida más sencilla nos gustaría definir las coordenadas localmente alrededor de $x$, de modo que sólo podemos pretender que estamos haciendo matemáticas en $\mathbb{R}^m$. Nos damos cuenta entonces de que estamos en una encrucijada--que coordinar la definición de qué elegimos? Es decir, tenemos un diagrama de la forma

$$\begin{array}\;\phi^{-1}(U\cap V) & & & \psi^{-1}(U\cap V)\\ & _\phi \searrow & \swarrow\psi &\\\ & \;\;\;\;\;\;U\cap V & & \end{array}$$

que representa el espacio donde las sombras creadas por $U'$ $V'$ se cruzan y las partes de $U'$ $V'$ cuales son la creación de estas sombras. Así que, ¿cuál elegimos? Haciendo las matemáticas nos gustaría para nosotros en realidad no importa que nos pick-quiero decir, que todo arbitrario coordinaization. Pero, ¿qué exactamente debe decir "no importa". Por supuesto, esto no significa que literalmente son el mismo, pero lo que significa es que cualquier información hechas por la elección de uno coordinazation sobre el otro es verdadero, y traducibles para el caso de que hacemos lo contrario coordinaization. Por supuesto, la traducción significa que tenemos un mapa de $\phi^{-1}(U\cap V)\to \psi^{-1}(U\cap V)$ que corresponde a la coordinization estos espacios representan. El diagrama nos da precisamente cómo hacer este mapa, es decir, bajando a $U\cap V$ través $\phi$ y luego de vuelta hasta el$\psi^{-1}(U\cap V)$$\psi^{-1}$, por lo que podemos obtener de nuestro mapa de la $\psi^{-1}\circ\phi:\phi^{-1}(U\cap V)\to\psi^{-1}(U\cap V)$ que podemos considerar como el diccionario entre los dos coordinazations de $X$ a nivel local en torno $x$. Pero, no queremos que estos al ser de cualquiera de los mapas antiguos. De hecho, si estamos haciendo las cosas como el cálculo, la transferencia de ideas a través de este diccionario no debe ser sólo un diccionario con las palabras, pero también un diccionario con el cálculo palabras en ella. En otras palabras, todo el cálculo de las declaraciones que podemos hacer en $\phi^{-1}(U\cap V)$ debe ser capaz de ser traducido a través de este diccionario a los en $\psi^{-1}(U\cap V)$. Por supuesto, un mapa no nos va a dar esto-se podía totalmente estropear las nociones de la diferenciabilidad, etc. Por lo tanto, queremos que los mapas que no cambie ninguna de las palabras que implican el cálculo, queremos que los mapas que respetarlo. Por supuesto, estas son las $C^k$ mapas (donde el $k$ es de su gusto en el cálculo, la mía es de $k=\infty$).

Answer 2

La función de $\phi_\alpha$ impone una estructura de coordenadas como la de $\mathbb{R}^m$$U_\alpha$, y del mismo modo para $\phi_\beta$$U_\beta$. Los conjuntos de $U_\alpha$ $U_\beta$ pueden superponerse, y si lo hacen, los mapas de $\phi_\alpha$ $\phi_\beta$ imponer diferentes coordinar las estructuras en $U_\alpha\cap U_\beta$, el conjunto donde se superponen. La función de composición $\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}$ se convierte de la $\beta$ sistema de coordenadas en $U_\alpha\cap U_\beta$ $\alpha$ sistema de coordenadas en la superposición.

Para exigir que este cambio de coordenadas de mapa se $C^k$ es simplemente para exigir que los dos sistemas de coordenadas se relacionan en un 'bonito' camino de $-$ más amable y agradable como $k$ aumenta. Para $k=0$ sólo dice que el cambio de coordenadas es continua: los dos sistemas de coordenadas no están completamente fuera de sintonía, para decirlo de manera informal. Como $k$ aumenta, el cambio de coordenadas puede llevarse a cabo más y más suavemente.

Answer 3

Sin esa condición, lo que tenemos es sólo una topológico colector (aunque tenga en cuenta que muchas personas que estudian diferenciable colectores de añadir paracompactness para la definición).

Topológico colectores son lindo y todo, pero estamos muy interesados en conseguir "el cálculo" instalado en nuestro colectores. Para ello, necesitamos una noción de lo que significa para un mapa continuo de un colector $M$ a colector $N$ a "diferenciable", o, más en general, $C^k$. Ya sabemos lo que significan esos términos para los mapas de entre Euclidiana espacios, así nos "transporte" para el colector de configuración declarando $f:M\to N$ $C^k$ cuando, por cualquier $p\in M$, existen gráficos de $\phi_\alpha$ $M$ $\psi_i$ en $N$,$$\phi_\alpha:U_\alpha\to \phi(U_\alpha)\subseteq\mathbb{R}^{m}\quad\text{and}\quad \psi_i:V_i\to\psi_i(V_i)\subseteq\mathbb{R}^{n},$$ such that $p\en U_a$ and $f(U_\alpha)\subseteq V_i$, y de tal manera que la composición $$\phi_\alpha(U_\alpha)\xrightarrow{\;\;\phi_\alpha^{-1}\;\;}U_\alpha\xrightarrow{\;\;f\;\;} V_i\xrightarrow{\;\;\psi_i\;\;} \psi_i(V_i),$$ que es un mapa abierto entre los subconjuntos de Euclídea espacios, es $C^k$. Parece bastante razonable, pero en realidad, esta definición no puede ser coherente; lo que si, la elección de $\phi_\alpha$$V_i$, el mapa de $f$ parece ser $C^k$, y la elección de los diferentes $\phi_\beta$$V_j$, el mapa de $f$ parece no ser $C^k$?

La condición que te refieres es precisamente lo que es necesario para garantizar que contamos con una bien definida la noción de $C^k$ función en un colector, porque dice que cuando tenemos dos gráficos que cubren algunos de los mismos puntos, el mapa que se convierte "en el primer gráfico" a "en el segundo gráfico" es $C^k$ sí, y desde composiciones de $C^k$ funciones $C^k$, vamos siempre con la misma respuesta independientemente de que el cuadro se elija.

Answer 4

Tal vez debemos audazmente pregunte: ¿por Qué el $\phi_\alpha$ necesario para ser homeomorphiss y no solo conjunto teórico bijections en el primer lugar? La idea es que el $\phi_\alpha$ llevan el local de la mirada y la sensación de $X$ a algo que (creo) entender: buena edad $\mathbb R^n$.

A través de $\phi_\alpha$ podemos transportar información de $\mathbb R^n$ $X$(a trozos). Por ejemplo, podemos declarar que la $f\colon X\to Y$ es continua iff $f|_{U_\alpha}=f_\alpha\circ\phi_\alpha$ continuo con $f_\alpha$ todos los $\alpha$. Sin embargo, si el transiiton funciones no continuas, a menos $f$ que "se espera" puede llegar a ser continua, de esta manera (tal vez la única constante funciones) porque lo que es continuo cuando se utiliza un mapa puede no ser continua cuando se utiliza otro.

Del mismo modo, podríamos afirmar que $f\colon X\to \mathbb R^m$ es afín iff $f|_{U_\alpha}=f_\alpha\circ\phi_\alpha$ afín con los mapas de $f_\alpha\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^m$ todos los $\alpha$. De nuevo, esto produce una cantidad no trivial de afín funciones en $X$ sólo si la transición de las funciones de sí mismos son afines. Que es: Por la rasgadura de un par de páginas de nuestro atlas, que puede aumentar el conjunto de afín funcitons en $X$. Podríamos mantener a arrancar las páginas hasta que sólo locales, tales mapas siguen siendo para que las transiciones son afines. Parece ser que tal un pequeño atlas sería la mejor manera de dar a $X$ una estructura en donde el sentido de una función de $X\to\mathbb R^m$ ser llamado afín.

De esta maquillada ejemplo, lo mismo ocurre cuando queremos introducir la noción de una función en $X$ a ser suave. Mientras las transiciones no son en sí mismos suave, una función que tiene un aspecto liso a través de un mapa puede no parecer suave a través de otro. Deshacerse de cualquier transición brusca en nuestro atlas elimina un obstáculo para que algunas de las funciones que es suave. Si sólo tenemos transiciones suaves, luego nos obtaoin la maximla posible conjunto de las funciones lisas en $X$ y, al mismo tiempo, nos permite comprobar la suavidad mediante la comprobación de cualquier mapa alrededor de cada punto de $X$, sin necesidad de comprobar todos los mapas locales.