Si $m^n = n^m$, ¿por qué $m$ ser un factor de $n$?

Question

Que $m^n = n^m$ $n,m \in \mathbb{N}$ y $n > m.$

¿Por qué tiene un factor de $m$ $n$?

Creo que es debido a los factores primos, pero no puedo probarlo.

Answer 1

Deje $v_p(x)$ ser el exponente de un primer $p$ en la factorización de $x$.

A continuación, $m^n = n^m$ implica $n v_p(m) = m v_p(n) $ todos los $p$.

Desde $n >m$, obtenemos $m v_p(n) = n v_p(m) \ge m v_p(m)$ $v_p(n) \ge v_p(m)$ todos los $p$.

Esto significa que $m$ divide $n$.

Alternativamente, escribir $n=m+t$$t>0$. A continuación, $m^n = n^m$ implica $n^t=q^m$$q=n/m$. Por lo tanto, $q$ es una raíz racional de la monic ecuación polinómica $x^m-n^t=0$. Por el racional de la raíz teorema, $q$ debe ser un número entero y por lo $m$ divide $n$.