Encontrar el límite: $\lim \limits_{x \to 1} \left( {\frac{x}{{x - 1}} - \frac{1}{{\ln x}}} \right)$

Question

Buscar: \lim\limits_{x \to $$ 1} \left ({\frac{x}{{x - 1}}-\frac{1}{{\ln x}}} \right) $$

Sin utilizar aproximaciones L'Hospital o Taylor

Gracias de antemano

Answer 1

Tenga en cuenta % $ $$\log(x)=\int_1^x \frac{dt}{t}$

y que para el $1 < t < x$ % $ $$2-t < \frac{1}{t} < \frac{\frac{1}{x}-1}{x-1}(t-1) +1.$

Integración en $t$ $1$ $x$ resultados en $$0 < \frac{(3-x)(x-1)}{2} < \log(x) < \frac{(1+\frac{1}{x})(x-1)}{2}$% $ de x\in(1,3) de $ for all $. Por lo tanto, en el mismo intervalo

$$ \frac{2-x}{3-x}<\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\log(x)}< \frac{x}{x+1} $$

y $$\lim_{x\downarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\log(x)}\right)=\frac{1}{2}.$ $

$x\in(0,1)$ Todas las desigualdades cambian de dirección y por lo tanto también

$$\lim_{x\uparrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\log(x)}\right)=\frac{1}{2}.$$

Answer 2

Vamos a escribir

$$\lim_{x\rightarrow1}\left({x\over x-1}-{1\over\ln x}\right)=1+\lim_{x\rightarrow1}\left({1\over x-1}-{1\over\ln x}\right)=1+L$$

y ver si podemos calcular $L$. Pero puesto que es equivalente a $x\rightarrow1$ $x^2\rightarrow1$, podemos reescribir $L$ como

$$L=\lim_{x\rightarrow1}\left({1\over x^2-1}-{1\over\ln x^2}\right)={1\over2}\lim_{x\rightarrow1}\left({-1\over x+1}+{1\over x-1}-{1\over\ln x}\right)={-1\over4}+{1\over2}L$$

Así que si suponemos que el límite existe, entonces fácilmente encontramos $L=-1/2$, por lo tanto el límite deseado es $1-1/2=1/2$. Por favor tenga en cuenta, sin embargo, esto no prueba que el límite existe, lo que su valor es si lo hace.