Consulta de espacios del vector

Question

Denotar por $V$ el verdadero espacios del vector de todos los polinomios verdaderos en una variable, y que $P : V \rightarrow \mathbb{R}$ ser un mapa lineal. Supongamos que $\forall$ $f,g \in V$ $P(fg) = 0$ tenemos $P(f) = 0$ o $P(g) = 0$. Demostrar que existen números reales $x_0, c$ tal que $P(f) = cf(x_0)$ % todos $f$.

Answer 1

Es suficiente para demostrar que es cierto para $f(x)=x^k , \ \ k\in \mathbb{N}\cup\{0\}.$

Definir $c=P(1)$ y asumen $c\neq 0$. A continuación, defina $P\left(\dfrac{x}{c}\right)=x_0$ y asumir que $\ x_0 \neq 0$. Mostrar ahora, el uso de la inducción, que $P(x^k)=cx_0^k, \ \forall k \in \mathbb{N}$.

Por ejemplo, para $k=2$:
$P(x^2)=r \in \mathbb{R} \Rightarrow P(r\frac{x}{cx_0}-x^2)=0 \Rightarrow P(x)=0 \text{ or } P(\frac{r}{cx_0}-x)=0$. Desde $P(x) \neq 0$ obtenemos $P(\frac{r}{cx_0})=P(x) \Rightarrow \frac{r}{cx_0}P(1)=c x_0 \Rightarrow r=c x_0^2$. Por lo tanto $P(x^2)=r=cx_0^2$.

Luego consideraremos los casos $c=0$ o $x_0=0.$

• $c\neq0$ $x_0=0$:
  Tenemos $P(x+1)=c$. Para $k\geq 2, \ \text{if} \ \ P\left((x+1)^k\right)=r \Rightarrow P\left((x+1)^k-\frac{r}{c}(x+1)\right)=0.$
  Desde $P\left((x+1)\right)\neq0 \Rightarrow P\left((x+1)^{k-1}-\frac{r}{c}\right)=0 \Rightarrow P\left((x+1)^{k-1}\right)=\frac{r}{c}P(1)=r$.
  Ahora el uso de la inducción para demostrar que $P\left((x+1)^k\right)=c \ \forall k \in \mathbb{N}$.
  A continuación, utilice la inducción para demostrar que $P\left(x^k\right)=0 \ \forall k \in \mathbb{N}$ (usar ese $x^k=(x+1)^k-kx^{k-1}-\ldots-kx-1$).
• $c=0$:
  Si $P(x^k)=r\neq 0$ algunos $k \in \mathbb{N}$$P(x^{2k})=s\neq0$. Desde $P\left(x^{2k}-\frac{s}{r}x^k\right)=0 \Rightarrow P\left(x^k\right)=0 \ \text{or} \ P\left(x^k-\frac{s}{r}\right)=0$. En cualquier caso obtenemos $P\left(x^k\right)=0$↯.
  Por lo tanto,$P\left(x^k\right)=0 \ \forall k \in \mathbb{N}$.

Answer 2

He leído esta pregunta sólo hoy. Después me escribió una prueba, he leído Pambos' y encontró que las dos pruebas son muy similares. Así que creo que mejor no repetir Pambos el argumento de aquí, pero sólo anote la parte de mi prueba de que la distingue de la mayoría de Pambos'.

Específicamente, se considera el segundo caso, en Pambos' la prueba, donde:$P(1)\not=0$$P(x)=0$. Por la linealidad de la $P$, podemos suponer que la $P(1)=1$. Deje $a_k=P(x^k)$ (por lo tanto,$a_1=0$). A continuación, para $k>1$, $$P\left((x-a_k)(x^{k-1}+1)\right)=P(x^k)-a_kP(x^{k-1})+P(x)-a_k=-a_ka_{k-1}.$$ Por lo tanto, por inducción matemática, podemos demostrar que $a_k=0$ todos los $k>1$. Por lo tanto $P(f)=f(0)$.