Medir teórico de la definición de curl

Question

Hay una buena medida teórico de la definición de rizos?

Para dar una idea de el tipo de ecuación que estoy buscando, aquí ahora puedo definir grad y div. Para el degradado, decir que hemos dado un Fréchet diferenciable función de $f:X\rightarrow\mathbb{R}$, entonces podemos definir el $\nabla f(x)$ a ser el elemento en $X$ tal que $$ \langle \nabla f(x),\eta \rangle = f^\prime(x)\eta. $$ Por lo tanto, $\nabla f(x)$ es el Riesz representante de la Fréchet derivados (Nota, hemos asumido un espacio de Hilbert.) Para la divergencia, tenemos $f:X\rightarrow X$ y se puede definir $$ \nabla \cdot f(x) = \lim_{\Omega\rightarrow \{x\}}\frac{1}{\mu(\Omega)} \int_{\Omega} \nabla\cdot f(x) d\mu =\lim_{\Omega\rightarrow \{x\}}\frac{1}{\mu(\Omega)} \int_{\partial \Omega} f(x)\cdot n d\mu. $$ Aquí, $\lim_{\Omega\rightarrow \{x\}} 1/\mu(\Omega)$ es la abreviatura de $\lim_{k\rightarrow \infty} 1/\mu(\Omega_k)$ donde$\Omega_{k+1}\subseteq\Omega_k$$\lim_{k\rightarrow\infty}\Omega_k = \{x\}$. Además, $\mu$ denota cierta medida. En cualquier caso, la primera igualdad se sigue de la diferenciación de Lebesgue y teorema de la segunda sigue a partir de la integración por partes. De esta manera, se requiere que $X$ ser finito dimensionales.

Ahora, me gustaría conseguir algo a lo largo de estas líneas para rizar. Más específicamente, estoy interesado en una definición de rizos que no hace uso de formas diferenciales o el cálculo exterior.

No he comprobado esto de cerca, pero si ayuda, yo creo que para $f:X\rightarrow X$, tenemos que $$ (\nabla \times f(x))\times \delta x = f^\prime(x)\delta x-f^\prime(x)^*\delta x $$ donde $f^\prime(x)^*$ indica el medico adjunto de la Fréchet derivado de la $f$$x$. En otras palabras, el producto cruzado entre el curl de $f$ $\delta x$ es la parte antisimétrica de la Fréchet derivados.

Answer 1

Deje $v=(v_i)$ ser un campo de vectores. Si $c=(c_i)$ es el curl de $v$, como lo hizo con la divergencia, se puede escribir:

$$ c_i(x) = \lim_{A_i\a \{x\}}\frac{1}{\mu(A_i)} \int_{A_i}(\nabla\times v)_i\,d\mu = \lim_{A_i\a \{x\}}\frac{1}{\mu(A_i)} \int_{\partial A_i} (v\times dx)_i, $$

donde: $$ (v\times dx)_i = \sum_{j,k}\epsilon_{ijk} v_j\,dx_k $$

son los componentes de la costumbre de la cruz del producto, y $A_i$ son superficies planas, lisas límite, ortogonal a $dx_i$. Por ejemplo, $A_1$ es paralela a la $yz$ plano, y orientada en ese sentido.

Nota: integración por partes (de las componentes) es exactamente equivalente al exterior de la diferenciación y el teorema de Stokes.