Prueba de cómo multiplicidad en los trabajos de un polinomio.

Question

En álgebra (2) me dijeron que si un polinomio tiene una multiplicidad incluso $x=a$, entonces la gráfica toca $y=0$ $x=a$ pero no Cruz $y=0$. Multiplicidades extraños ir a través de la ecuación de % de $x$. Por ejemplo: $$y=x^2\to y=(x-0)(x-0)\to x=0,0$$And you can clearly see the graph "touches without intersecting" at $x = 0$.

Sin embargo, estoy confundido sobre cómo esto está probado.

Answer 1

Que $P(x) = Q(x)(x-a)^{2n}$ tal que $(x-a)\nmid Q(x)$. Entonces en un barrio bastante pequeño de $a$ (por ejemplo uno que no contiene no tiene ninguna raíz de $Q(x)$), $Q(x)$ conserva signo. Y $(x-a)^{2n}\geq 0$, por lo tanto, en dicho barrio, $P(x)$ conserva el signo, es decir, la función no cruza la línea de $y=0$.

Usted puede encontrar un argumento similar de por qué sucede al revés para $P(x) = Q(x)(x-a)^{2n+1}$.

Answer 2

Suponga que usted tiene $f(x) = (x+6)(x-4)(x-7)^2$. Si hay cerca $x$ $7$ entonces $(x+6)(x-4)$ es cerca de $(7+6)(7-4) =39$, así que aproximadamente $f(x)$ $39(x-7)^2$. Observe que si $x$ es un poco más de $7$ o un poco menos, luego $(x-7)^2$ es positivo, pero si $x$ es exactamente $7$, entonces $(x-7)^2$ es $0$. Ser positivo a ambos lados de ese punto pero exactamente $0$ significa en ese momento toca el eje sin cruzar de positivo a negativo o viceversa.