Me parece la definición del centro de un grupo y un subgrupo normal son iguales por lo que me pregunto ¿cuál es la diferencia entre los dos?
Un grupo $H$ es normal en $G$iff $Hg=gH$ % todos $g \in G$.
El centro de un grupo $Z(G) = \{z| \in G$ y para todos los $g \in G, gz=zg\}$
Esas declaraciones parecen equivalentes a mí.
Si $x\in Z(G)$, tienes que $g^{-1}xg = x$el % por cada $g\in G$, mientras que si $H$ es normal y el $x \in H$, sólo tienes que $g^{-1}xg \in H$. Esta es una condición mucho más débil.
En otras palabras, el centro es invariante pointwise bajo verbal por $G$, mientras que en general sólo son invariantes bajo Conjugación como un subgrupo todo subgrupos normales.
Las declaraciones no son equivalentes. Lo que falta es que $Hg=gH$ no implica que $hg=gh$ todos los $h\in H$: el conjunto de elementos $\{hg:h\in H\}$ puede ser igual al conjunto de elementos $\{gh:h\in H\}$ sin cada uno de los productos individuales $hg$ $gh$ siendo la misma.
Para un ejemplo concreto de esto, vamos a $G=S_3$, el grupo de simetría de un triángulo equilátero; se puede ver su tabla de multiplicación aquí. Deje $H=\{e,d,f\}$; es fácil comprobar que $H$ es un subgrupo de $G$. A continuación,$aH=\{a,b,c\}=Ha$, pero $ad=b\ne c=da$. Usted puede ir a comprobar que $xH=Hx$ por cada $x\in G$, por lo que el $H$ es normal en $G$, pero ninguno de los elementos $a,b$, e $c$ viajes con $d$ o $f$.
El centro es un subgrupo normal, pero hay subgrupos normales que son diferentes del centro.
Por ejemplo, considere un grupo cíclico $\mathbb{Z} /6$, $\mathbb{Z}/6$ es abelian la definición del centro que dio nos dice que $Z(\mathbb{Z}/6) = \mathbb{Z}/6$. Sin embargo también hay subgrupos normales $\mathbb{Z}/2$ y $\mathbb{Z}/3$.
La diferencia es que el $Hg = gH$ significa que el $ \forall h \in H, \forall g\in G, gh \in Hg$ y $ hg \in gH$. Tenga en cuenta que no es necesario que $gh = hg$, sólo que está en el coset derecho.
Por otro lado, un elemento $h \in Z(G), \forall g \in G, hg = gh$ esto es una condición más fuerte. Como tal, el centro siempre es un subgrupo normal, pero no todos los elementos de los subgrupos normales están en el centro.
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