Existencia y unicidad de una solución

Question

Yo estoy atascado con este problema así que espero que alguien me ayudar :) Ya estás aquí:

Que $K\in C([0,2])$ ser positiva, decreciente y tal que $K(0)=1$. Probar que para cada $h\in C([0,1])$ allí existe una única solución $u\in C([0,1])$ a la ecuación

$$u(x)=h(x)+\int_0^1K(x+y)u(y)\mathrm d y,\qquad \forall x\in [0,1].$$

Answer 1

Considerar el mapa (como se define por kahen en un comentario)

$$ T_h f(x) = h(x) + \int_0^1 K(x+y) f(y) dy $$

que es lineal en el mapa de $C([0,1])$ a sí mismo. Entonces

$$ T_h f(x) - T_h g(x) = \int_0^1 K(x+y) (f(y) - g(y)) dy $$

así

$$ | T_h f(x) - T_h g(x) | \leq \int_0^1 K(x+y) |f(y) - g(y)| dy$$

donde hemos utilizado que $K$ es positivo. Ahora, tome $|f-g|$$\sup$$[0,1]$, y el uso que $K$ es estrictamente decreciente, por lo $\int_0^1 K(x+y) dy \leq \int_0^1 K(y) dy < 1$, usted tiene que para cualquier $h$, $T_h$ es una asignación de contracción.

Ahora sólo hay que aplicar la de Banach de punto fijo teorema y listo.

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Parece que hay cierta confusión acerca de si $K$ es estrictamente decreciente. Tenga en cuenta que en el aspecto crucial de la prueba anterior, es que la $\int_0^1 K(x+y) \leq 1-\epsilon $ positivos $\epsilon$. Que $K$ es estrictamente decreciente es suficiente, pero no necesaria.

Por otro lado, TonyK indica en su comentario que en el caso de que $K\equiv 1$ $h = 0$ hay infinitamente muchas soluciones (tome $u$ a ser cualquier función constante). Análogo al caso de álgebra lineal, donde un cambio de parámetro se puede cambiar un sistema lineal de tener una infinidad de soluciones o ninguna soluciones, vemos el mismo fenómeno, en este caso. Deje $K\equiv 1$ y asumen $h$ es una función integral de la $\int_0^1 h(x) dx \neq 0$. Entonces la integral dada la ecuación admite que no hay soluciones.

Desde $K \equiv 1$, la ecuación se reduce a

$$ u(x) = h(x) + \int_0^1 u(y) dy $$

Integrar ambos lados en $x$, se obtiene

$$ \int_0^1 u(x) dx = \int_0^1 h(x) dx + \int_0^1 dx \int_0^1 u(y) dy $$

por lo que podemos restar la izquierda desde el lado derecho y obtener

$$ 0 = \int_0^1 h(x) dx \neq 0 $$

lo cual es absurdo. De hecho, tiene la siguiente afirmación: si $K\equiv 0$, la ecuación no tiene soluciones (al $h$ promedio de cero) o un número infinito de soluciones (al $h$ cero de promedio) que difieren entre sí por constantes cambios.

Así que por el principio de que "la tarea de los ejercicios deben ser resueltos", se puede suponer que cualquiera que sea el origen del problema, la frase "reducir" significa "estrictamente decreciente".