Lema de Fodor sobre los cardenales singulares

Question

El lema de Fodor afirma que si $\kappa$ es un cardinal regular e incontable, entonces si $f(\alpha)<\alpha$ para un subconjunto estacionario de $\kappa$ , entonces es constante en el subconjunto estacionario.

Supongamos que $\kappa>\operatorname{cf}(\kappa)=\mu>\omega$ Es decir $\kappa$ es singular con cofinalidad incontable.

¿Qué tipo de condiciones hay que tener para que una función regresiva sea constante en un subconjunto estacionario? ¿O hay algún contraejemplo fácil de encontrar que no se me haya ocurrido hasta ahora?

(En particular me interesa el caso de que la función esté definida en un segmento final)

Answer 1

Estoy bastante seguro de que todo lo que se puede conseguir sin muy La condición extra fuerte es la forma débil del lema de pressing-down que dice que la función debe estar acotada en un conjunto estacionario. Por ejemplo, dejemos que $\kappa = \omega_{\omega_1}$ , $\mu = \omega_1$ y $C = \{\omega_\xi:\xi\in\omega_1\}$ y definir $\varphi:\kappa \to \kappa$ al establecer $\varphi(\alpha) = \xi$ para $\omega_\xi \le \alpha < \omega_{\xi+1}$ claramente $\varphi$ es regresivo, pero no es constante en cualquier subconjunto estacionario de $\kappa$ . No tengo claro que cualquier condición razonable evite ejemplos como éste, aunque por supuesto lo razonable depende de para qué se quiera el resultado.

Para demostrar la forma débil, supongamos que $\kappa > \operatorname{cf}\kappa = \mu > \omega$ Entonces $\kappa$ tiene un cachorro $C = \{\alpha_\xi:\xi \in \mu\}$ donde la enumeración es continua. Sea $S$ sea un subconjunto estacionario de $\kappa$ Entonces $S_C = \{\xi \in \mu:\alpha_\xi \in S\}$ es un subconjunto estacionario de $\mu$ . Sea $\varphi$ sea una función regresiva sobre $\kappa$ . Definir $$\varphi_C:S_C \to \mu:\xi \mapsto \min\{\eta\in\mu:\varphi(\alpha_\xi) \le \alpha_\eta\};$$

claramente $\varphi_C(\xi)\le\xi$ . Supongamos que $\varphi_C(\xi)=\xi$ entonces para cada $\eta<\xi$ tenemos $\alpha_\eta<\varphi(\alpha_\xi)<\alpha_\xi$ y como $C$ está cerrado, $\xi$ debe ser un ordinal sucesor. Por lo tanto, $\varphi_C$ es regresivo en $\{\xi\in S_C:\operatorname{cf}\xi\ge\omega\}$ que es un subconjunto estacionario de $\mu$ y por lo tanto $\varphi_C$ es constante en algún subconjunto estacionario $T$ de $S_C$ , digamos que con valor $\eta_0$ . Entonces, para cada $\xi\in T$ , $\varphi_C(\xi)=\eta_0$ Así que $\varphi(\alpha_\xi)\le\alpha_{\eta_0}$ . Desde $\{\alpha_\xi:\xi \in T\}$ es estacionario en $\kappa$ hemos terminado: $\varphi$ está acotado en el conjunto estacionario $\{\alpha_\xi:\xi \in T\}$ .

En realidad tenemos un pequeño más. Por cada $\eta<\eta_0$ , $\varphi(\alpha_\xi)>\alpha_\eta$ Así que $\varphi(\xi)\ge\sup\{\alpha_\eta:\eta<\eta_0\}=$ $\alpha_{\sup\{\eta:\eta<\eta_0\}}$ Así que.., $\varphi$ es constante en un conjunto estacionario si $\eta_0$ resulta ser un ordinal límite. Si $\eta_0=\gamma+1$ Sin embargo, todo lo que podemos decir es que $\varphi$ mapea un conjunto estacionario en $[\alpha_\gamma,\alpha_{\gamma+1}]$ .

Answer 2

Supongamos que $\kappa$ es un cardinal de cofinalidad incontable. Una condición suficiente (pero ni siquiera cercana a la necesaria) para una función regresiva $f:\kappa\to\kappa$ sea constante en un subconjunto estacionario de $\kappa$ es que $\lim(f)<\operatorname{cf}(\kappa)$ donde $$ \lim(f)=\min\{\alpha\leq\kappa:f^{-1}[0,\alpha)\text{ is stationary}\}. $$ De hecho, si $\lim(f)=\beta<\operatorname{cf}(\kappa)$ entonces el conjunto estacionario $f^{-1}[0,\beta)=\bigcup_{\alpha<\beta}f^{-1}\{\alpha\}$ es una unión de menos de $\operatorname{cf}(\kappa)$ establece $f^{-1}\{\alpha\},\alpha<\beta$ . Porque toda unión de menos de $\operatorname{cf}(\kappa)$ conjuntos no estacionarios es no estacionario, debe existir un $\alpha<\beta$ que $f^{-1}\{\alpha\}$ es estacionario. Por lo tanto, $f$ es constante en un conjunto estacionario.