$e^{i\theta}$ $=$ $\cos \theta + i \sin \theta$ ¿una definición o un teorema?

Question

Mi pregunta es simplemente si la conocida fórmula $e^{i \theta}$ $=$ $\cos \theta$ $+$ $i \sin \theta$ una definición o hay alguna prueba del resultado.

Me parece que la fórmula es una definición (como es el caso de la definición de $e$ a partir de la cual la definición de $e^x$ puede derivarse fácilmente). Pero si intento formar la definición de la misma manera tengo que usar la definición del Análisis Complejo. ¿Hay alguna manera de demostrar el resultado sin utilizar ninguna idea del Análisis Complejo?

Answer 1

Es un teorema.

Suponiendo que $e^z$ se define como $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$ (recuerde que hay varias formas de definir $e$ ), tenemos:

$$e^{i\theta}:=1+i\theta+\frac{\theta^2i^2}{2!}+\frac{\theta^3i^3}{3!}+\frac{\theta^4i^4}{4!}+\frac{\theta^5i^5}{5!}+\cdots=$$

Simplificando esto, encontramos que $$\boxed{e^{i\theta}\equiv1+i\theta-\frac{\theta^2}{2!}-\frac{i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{i\theta^5}{5!}-\cdots}$$

Ahora, $\color{blue}{\underbrace{\cos(\theta)=1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+\cdots}_{\text{Taylor expansion of} \cos(\theta)}}$ .

También, $\underbrace{\sin(\theta)=\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+\cdots}_{\text{Taylor expansion of} \sin(\theta)}\iff \color{green}{i\sin(\theta)=i\theta-\frac{i\theta^3}{3!}+\frac{i\theta^5}{5!}-\frac{i\theta^7}{7!}+\cdots}$ .

Ahora, $\color{blue}{\cos(\theta)}\color{\green}{+i\sin(\theta)}=\color{blue}{1}\color{green}{+i\theta}\color{blue}{-\frac{\theta^2}{2!}}\color{green}{-\frac{i\theta^3}{3!}}\color{blue}{+\frac{\theta^4}{4!}}\color{green}{+\frac{i\theta^5}{5!}}\color{blue}{-}\cdots=e^{i\theta}$ .

Answer 2

Depende de cómo se defina $e$ , $\cos$ y $\sin$ ¡!

Puede definir $$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta).$$ En ese caso, tienes que seguir y demostrar que tu otra definición de la exponencial para los números reales te da un resultado equivalente cuando se extiende a todo el plano complejo.

Como alternativa, se puede definir $$ e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.$$ En este caso, hay que demostrar (¡o definir!) las expansiones en serie infinita de $\cos$ y $\sin$ , mostrar que todo converge siempre, luego mostrar que cuando se restringe a un argumento puramente imaginario, $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta).$

Answer 3

Creo que si uno plantea el análisis por buscar la economía de la definición (más que la pedagogía), sería natural introducir primero la función exponencial (a través de la ecuación diferencial $f'=f$ o por su serie) y luego definir el coseno y el seno por $$ \cos(z)=\frac{\exp(z)+\exp(-z)}2 \qquad\text{and}\qquad \sin(z)=\frac{\exp(z)-\exp(-z)}{2\mathbf i}. $$ Ahora su resultado es un teorema, pero uno bastante obvio demostrado por el álgebra elemental a partir de las definiciones.

Answer 4

En Function Theory of One Complex Variable de Robert E Greene y Steven G Krantz, definen

$$e^{iy}=\cos(y)+i\sin(y)$$

Y si $x$ es real

$$e^x=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^j}{j!}$$

Pero luego demuestran que su definición no es circular mientras discuten los ceros de las funciones holomorfas. La cuestión es que se trata de una "definición formal" y eso está bien porque no se producen contradicciones y, lo que es más importante, podemos (si lo deseamos) demostrar otra cosa que normalmente consideraríamos un axioma. En otras palabras, es posible intercambiar el papel de un axioma y un corolario siempre que sean una tautología en algún sentido y uno no sea de hecho mucho más fundamental.