¿Cómo hacer % integración $\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^n)\,\mathrm{d}x$?

Question

cómo hacer la integración de $\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^n)\,\mathrm{d}x$, asumiendo $n>1$ ?

Desde la página de la wiki de Gauss Integral: $\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2)\,\mathrm{d}x = \sqrt{\pi}$

Así, se puede definir una variable aleatoria $X$ ha $\text{pdf}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \text{exp}(-x^2)$ desde $\int_{-\infty}^{+\infty}\text{pdf}(x)\,\mathrm{d}x = 1$. En realidad, esta es la distribución normal.

Ahora, me gustaría definir $\text{pdf}(x) = \frac{1}{c} \text{exp}(-x^n)$, pero, ¿cuánto es $c$?

O, $\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-x^n)\,\mathrm{d}x = ?$

Hay una sugerencia en la página de la wiki Función de Error:

Función de Error es:$\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x}\exp(-t^2)\,\mathrm{d}t$,$\text{erf}(0)=0$$\text{erf}(+\infty) = 1$.

Así que esto significa un pdf puede ser definido como:$\text{pdf}(x) = \frac{1}{2}\text{erf}(x)$.

Entonces, la generalización de la Función de Error se define como $$E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \text{exp}(-t^n)dt$$ ¿significa esto

$\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^n)\,\mathrm{d}x = \frac{2\sqrt{\pi}}{n!} $ ?

Aun así, todavía hay un problema: si $n$ no es entero, cómo calcular el $n!$? Qué hace la función Gamma $\Gamma(n)$? como este:

$\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^n)\,\mathrm{d}x = \frac{2\sqrt{\pi}}{\Gamma(n)} $

Answer 1

$$n>1,\; t=x^n:$$

$$\int_{0}^{\infty} e^{-x^n}\,dx=\frac{1}{n}\int_0^{\infty} t^{\frac{1}{n}-1}e^{-t}dt=\frac{1}{n}\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)=\Gamma \left(\frac{n+1}{n}\right)$$

En cuanto a la integral sobre $\mathbb{R}:$ cuando $n$ es par, el doble, cuando $n$ es impar, que el integral de no converge.