¿Qué es

Question

¿Qué es $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^d}{ {n+d \choose d} }$ $d$? ¿Existe el límite? ¿Hay un límite superior simple cuanto de $d$?

Answer 1

Escriba $$\frac{n^d}{(n+d)!}d!n!=d!\prod_{j=1}^d\frac{n}{n+j}$ $ para ver que el límite previsto es $d!$.

Answer 2

$$n^d\frac{n!\,d\,!}{(n+d)!}=d\,!\,(\frac{n}{n+1})(\frac{n}{n+2})\ldots(\frac{n}{n+d})$$

Tenga en cuenta que el R. H. S. contiene un número finito de términos ($=d$cada uno) tiende a 1.

Por lo tanto, el límite es de $d\,!$

Para encontrar una cota superior, usted puede simplemente hacer esto

$d\,!\,(\frac{n}{n+1})(\frac{n}{n+2})\ldots(\frac{n}{n+d})<d\,!\,(\frac{n}{n})(\frac{n}{n})\ldots(\frac{n}{n})$

$d\,!\,(\frac{n}{n+1})(\frac{n}{n+2})\ldots(\frac{n}{n+d})<d\,!$

De modo que su límite superior es $d\,!$

Otro Método (Sólo para mostrar que la sucesión es convergente)

Vamos a tratar el término dado a $n^d\frac{n!\,d\,!}{(n+d)!}$ como término de sequces $\{x_n\}$.

Ya hemos demostrado que la sucesión está acotada, por lo que será suficiente para demostrar que la sucesión es monótona creciente.

Ahora vamos a demostrar que es monótonamente creciente.

$$\frac{n}{n+r}-\frac{m}{m+r}=\frac{r(n-m)}{(n+r)(m+r)}>0 \quad\forall\; n>m>0\quad \& \quad\forall r>0$$

Deje $n>m$

A continuación, $n!>m!$ y cada plazo $\frac{n}{n+r}>\frac{m}{m+r} \quad \forall r \in \{1, 2, \ldots ,d\}$, hemos demostrado que esta arriba.

Hecne $x_n \gt m_m$ ( $a>a' \quad \& \quad b\gt b'\implies a.b>a'.b' \quad \forall a,a',b,b'>0$ )

Si quieres ver cómo una secuencia progresión que es superior acotada es convergente ir a este enlace.

Answer 3

Puede utilizar la aproximación de Stirling $$ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\,, $ $

después de escribir la expresión en forma

$$ d!\frac{n^d n!}{(n+d)!} $$

$$ d!\frac{n^d n!}{(n+d)!} \sim d! \frac{n^d \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n }{\sqrt{2 \pi (n+d)} \left(\frac{n+d}{e}\right)^{n+d}}= d!\, {\rm e}^d \left(\frac{n}{n+d}\right)^{n} \left(\frac{n}{n+d}\right)^{d} \left(\frac{n}{n+d}\right)^{\frac{1}{2}}$$

$$ \rightarrow d! \,{\rm e}^d \, \,{\rm e}^{-d}\, 1.1 = d!\,, \quad n \rightarrow \infty $$