¿Es una secuencia de variables aleatorias indexadas por un proceso de proceso de Poisson homogéneo estrictamente estacionario?

Question

Estoy revisando para un examen y no tienen idea cómo abordar esta cuestión:

Que $\{N_t\}_{t\geq 0}$ sea un proceso homogéneo de Poisson de parámetro $\lambda > 0$. Que $\{X_k\}_{k\geq 0}$ ser una secuencia de variables al azar, distribuida idénticamente independientemente, con $E[X_k] = 0$ y $Var[X_k] = \sigma^2 < +\infty$. ¿Es estrictamente estacionario el proceso definido por $Y_t = X_{N_t}$?

Supongo que el hecho de que el proceso de Poisson tiene incrementos independientes y tenemos:

$P(N_{t_2} - N_{t_1} = k) = \dfrac{\lambda (t_2 - t_1))^k}{k!} e^{-\lambda (t_2 - t_1)}$ es importante, pero no está seguro de cómo se relaciona, cualquier sugerencias apreciadas!

Answer 1

Si el proceso de $(N_t)$ y la secuencia de $(X_k)$ son independientes, entonces la identidad de $Y_t=X_{N_t}$ define estrictamente un proceso estacionario $(Y_t)$.

Para mostrar esto, considere la posibilidad de $Y^s_t=Y_{s+t}$, a continuación, para cada tiempo no negativo $s$, condicionalmente en $N_s=m$, el proceso de $(Y^s_t)_{t\geqslant0}$ es tal que, para cada $t\geqslant0$, $$ Y^s_t=X_{m+N'_{t}},\qquad N'_t=N_{t+s}-N_s. $$ El proceso de $N'$ es independiente de la $N_s$ por lo tanto $Y^s$ es independiente de la $N_s$. Además, por cada $m$, $(X_{m+k})_{k\geqslant0}$ se distribuye como $(X_k)_{k\geqslant0}$ por lo tanto $(X_{m+N'_t})_{t\geqslant0}$ es distribuido como $(X_{N_t})_{t\geqslant0}$ y el resultado de la siguiente manera.