La clave es la hermitian métrica $h$. Si lo analizamos con cuidado, como un tensor, $h$ es una sección de la línea de paquete de $K \otimes \bar{K} \cong \bar{K} \otimes K$. Por cierto, cuando escribo $\otimes$ me refiero a $\otimes_{\mathbb{C}}$ lo que implica que es el producto tensor lineal con respecto a los números complejos, no sólo a los reales. Como la sección de $h$ es positiva definida y que nunca llega a cero, que es el cuadrado de otra sección, $\sigma$ que es un buen sección del paquete de $L \otimes \bar{L}$. En otras palabras, $h = (\sigma)^2$ (en sofisticados símbolos $h = \sigma \otimes \sigma)$.
Definir la línea de paquete de mapa de $\phi : \bar{L} \to L \otimes\bar{K}$ como sigue:
para cualquier liso sección $\hat{s}$ $\bar{L}$ considera la asignación de $$ \varphi \, : \, \hat{s} \, \mapsto \, \sigma \otimes\hat{s}$$ that is $\varphi(\hat{s}) = \sigma \otimes\hat{s} = \sigma\, \hat{s} \, $. Now, $\sigma \otimes\hat{s}$ is a smooth section of the line bundle $\left(L \otimes \bar{L} \right)\otimes \bar{L} = L \otimes \left( \bar{L} \otimes \bar{L}\right) = L \otimes \overline{\left( {L} \otimes {L}\right)} = L \otimes \bar{K}$ because ${L} \otimes {L} = K$. Clearly $\varphi$ is a map that maps fibers to fibers and is complex linear on the fibers. Because $\sigma$ is never zero, it is injective and hence surjective. Consequently, it is an isomorphism. So your Dirac operator is $$D = \varphi^{-1} \circ \bar{\partial } \, : \, C^{\infty}(L) \, \mapsto \, C^{\infty}(\bar{L})$$
$$D \, s = \varphi^{-1}(\bar{\partial} \, s)$$ for $s \C^{\infty}(L)$. Furthermore, you can take the section $\sigma^{-1}$ which is a smooth section of $(L\otimes\bar{L})^{-1} = L^{-1}\otimes\bar{L}^{-1}$ and then $\varphi^{-1}(\lambda) = \sigma^{-1} \otimes \lambda = \sigma^{-1} \,\lambda $. Hence, the Dirac operator can be written as $$D \, s = \sigma^{-1} \otimes (\bar{\partial} \, s) = (\sigma^{-1} \otimes \bar{\partial}) \, s = (\sigma^{-1} \, \bar{\partial}) \, s.$$
Ahora, en coordinar los gráficos, todo parece más sencillo. De hecho, vamos a $s$ ser un spinor, es decir, un suave sección del paquete de $L$ y dejar $$(\phi^{-1}_j)^* s = s(z,\bar{z}) \, \sqrt{dz}$$ in a chart $\phi_j : U_i \to \mathbb{C}.$ Then the hermitian metric looks like $$(\phi^{-1}_j)^* h = h(z,\bar{z})\, dz \, d\bar{z}$$ and consequently $$(\phi^{-1}_j)^* \sigma = \sigma(z,\bar{z}) \, \sqrt{dz \, d\bar{z}} = \sigma(z,\bar{z}) \, \sqrt{|dz|^2} = \sigma(z,\bar{z}) \, |dz|$$ where $$h(z,\bar{z}) = \big( \sigma(z,\bar{z}) \big)^2$$ because $h(z,\bar{z})$ is positive function, so the square root is well defined, i.e. $\sigma(z,\bar{z}) = \sqrt{h(z,\bar{z})}$. Thus, your Dirac operator acts as follows $$\big(D\,s\big)(z,\bar{z}) \, \sqrt{d\bar{z}} = \frac{1}{\sqrt{h(z,\bar{z})}} \frac{\partial s}{\partial \bar{z}}(z,\bar{z}) \, \sqrt{d\bar{z}}$$ porque
\begin{align}
\big(D\,s\big)(z,\bar{z}) \, \sqrt{d\bar{z}} &= D\Big( s(z,\bar{z}) \, \sqrt{dz} \Big) = \frac{1}{\sqrt{h(z,\bar{z}) |dz|}} \, \frac{\partial s}{\partial \bar{z}}(z,\bar{z}) \, d\bar{z} \, \sqrt{d{z}} \\
&= \frac{1}{\sqrt{h(z,\bar{z})} \, \sqrt{dz}\, \sqrt{d\bar{z}}}\, \frac{\partial s}{\partial \bar{z}}(z,\bar{z}) \, d\bar{z} \, \sqrt{d{z}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{h(z,\bar{z})}}\, \frac{\partial s}{\partial \bar{z}}(z,\bar{z}) \, \frac{d\bar{z} \, \sqrt{d{z}}}{ \sqrt{dz}\, \sqrt{d\bar{z}}} \\
&= \frac{1}{\sqrt{h(z,\bar{z})}} \frac{\partial s}{\partial \bar{z}}(z,\bar{z}) \, \sqrt{d\bar{z}}
\end{align}
Espero que todo esto tiene sentido.
