Base del espacio de la cotangente

Question

La derivada de un mapa de $F$ entre colectores $M$ $N$ está definido por $$F_*X(f)= X(f \circ F)$$ donde $X \in T_P(M)$, el tanget espacio en el punto de $P$.

Sabemos que $$\left\{\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_P\right\}_i$$ is a basis for $T_P(M)$. How to show that $$\left\{dx^i\bigg|_P\right\}_i$$ is a basis for the cotangent space $(T_P(M))^*$?

En primer lugar, por $dx^i$, supongo que nos referimos a la derivada de la mapa de $x^i$ como se define arriba, a la derecha? Es este mapa $x^i$ simplemente eligiendo la i-ésima coordenada? En segundo lugar, para mostrar que no es una base, tenemos que mostrar que $dx^i\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_P\right) = \delta^i_j.$ Dónde ir desde aquí: $$\underbrace{(dx^i)_P}_{(\Phi_*)_P}\underbrace{\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_P\right)}_{X}f = \left(\frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_P\right)(f\circ x^i)?$$

Puedo usar la regla de la cadena, pero no estoy seguro exactamente. Por favor, ayudar.

Answer 1

Trabajamos a nivel local en un gráfico de $(U,\phi)$ $p$ $M.$ Deje $x_i:M\to \Bbb R$ el valor del $i^{\rm th}$ función de las coordenadas. A continuación, $dx_i:M_p\to\Bbb R_{p_i}$ donde $M_p,\Bbb R_{p_i}$ el valor de la tangente espacios en $p=(p_1,\ldots,p_n)$ $p_i.$

Por definición, $dx_i(v)(f)=v(f\circ x_i)$ para cualquier vector tangente $v\in M_p$ $C^\infty$- función de $f$$p_i.$, En particular, la elección de $v={\partial\over\partial x_j}|_{p},$ obtendríamos $0$ si $j=i,$, en cuyo caso obtenemos $$dx_i({\partial\over\partial x_i}|_{p})(f)={\partial\over\partial x_i}|_{p}(f\circ x_i) \overset{\rm def}= {\partial(f\circ x_i\circ\phi^{-1})\over\partial r_i}|_{\phi(p)} = {\partial(f\circ (r_i\circ\phi)\circ\phi^{-1})\over\partial r_i}|_{\phi(p)} = {\partial(f\circ r_i)\over\partial r_i}|_{\phi(p)}$$

donde $\phi: U\subseteq M\to \Bbb R^n$ es un gráfico de $p,$ $r_i$ es una función de las coordenadas en $\Bbb R^n.$

Ahora utilizando el cálculo, ${\partial(f\circ r_i)\over\partial r_i}|_{\phi(p)} = {\partial r_i\over\partial r_i}(\phi(p))\times{\partial f\over\partial t}(p_i)={\partial f\over\partial t}(p_i),$ donde $t$ es una coordenada en $\Bbb R.$ por Lo tanto, hemos demostrado que $dx_i({\partial\over\partial x_i}|_{p}) = {\partial\over\partial t}|_{p_i}.$