En mi libro Gödel §21.6, yo les doy la siguiente definición, la cual tomé yo/ser bastante estándar de terminología:
Una teoría aritmética $T$ $\omega$- incompleta iff, para algunos wff $\varphi\mathsf{(x)}$, $T$ puede probar cada una de las $\varphi\mathsf{(\overline{m})}$ pero $T$ no puede ir a probar $\forall \mathsf{x}\varphi\mathsf{(x)}$.
Así que si $T$ es capaz de demostrar lo $\forall \mathsf{x}\varphi\mathsf{(x)}$ al $T$ puede probar cada una de las $\varphi\mathsf{(\overline{m})}$, para cualquier $\varphi\mathsf{(x)}$, $T$ (como Luca dice) naturalmente se llama $\omega$-completa.
¿Cuál es la conexión entre el $\omega$-incompleto y $\omega$-incongruencia? Así, podemos decir esto:
$\omega$-imperfección en una teoría de la aritmética es una lamentable debilidad; si $T$ puede probar cada una de las $\varphi\mathsf{(\overline{m})}$ sería muy agradable si $T$ siempre fueron capaces de demostrar $\forall \mathsf{x}\varphi\mathsf{(x)}$. Lamentablemente, Gödel del teorema de la incompletitud nos dice que, sorprendentemente, bastante agradable teorías $T$ no puede ser este bonito! Por el contrario $\omega$-inconsistencia no es sólo una lamentable debilidad, sino una Cosa Muy Mala que, de hecho (no es tan mala como la absoluta incoherencia, tal vez, pero todavía malas). Para evidentemente, una teoría que puede probar cada una de $\varphi\mathsf{(\overline{m})}$, y sin embargo también demuestran $\neg\forall \mathsf{x}\varphi\mathsf{(x)}$ no es sólo va a ser interpretables como acerca de los números naturales.
