Es

Question

Es $\operatorname{Hom}_\mathbb{Z}(\mathbb{Q},\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\cong\bigoplus_p\mathbb{Q}_p$? O quizás $\prod_p\mathbb{Q}_p$?

Sé $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\cong\bigoplus_p \mathbb{Z}_{p^\infty}$, y también que $\operatorname{Hom}(\mathbb{Q},\mathbb{Z}_{p^\infty})\cong\mathbb{Q}_p$. Así que quiero decir $$ \operatorname{Hom}_\mathbb{Z}(\mathbb{Q},\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\cong\operatorname{Hom}_\mathbb{Z}(\mathbb{Q},\bigoplus_p\mathbb{Z}_{p^\infty})\cong\bigoplus_p\operatorname{hom}(\mathbb{Q},\mathbb{Z}_{p^\infty})\cong\bigoplus_p\mathbb{Q}_p $$

Sin embargo, no estoy seguro sobre el medio isomorfismo. Sólo sé de reglas que permiten a uno para tirar de un subproducto en el primer término en la parte delantera de Hom y el cambio a un producto, o usted puede tirar de un producto en el segundo término en la parte delantera de Hom como un producto.

Algunos de cavar aquí parece implicar que uno generalmente no puede tirar de una suma directa en el segundo término en el frente como un producto, y este es un isomorfismo si el primer término es finitely generado, sino $\mathbb{Q}$ no es, ciertamente, f.g. $\mathbb{Z}$-módulo.

Answer 1

No del todo. El Pontryagin doble de $\mathbf Q$ es un extraño objeto, llamado el solenoide. Desde $\mathbf Q = \varinjlim \frac{1}{n}\mathbf Z$, donde el límite es tomado a través de los números enteros ordenados por la divisibilidad, se sigue que

$$\widehat{\mathbf Q/\mathbf Z} = \varprojlim \widehat{\frac{1}{n}\mathbf Z}$$

Podemos reemplazar $\frac{1}{n}\mathbf Z$ $\mathbf Z$ en el límite, si hemos de sustituir también los morfismos en el límite con la correspondiente multiplicación de los mapas. A partir de la transformada de Fourier de la teoría, el doble de $\mathbf Z$ es el círculo de grupo $S^1$, y por lo tanto

$$\widehat{\mathbf Q/\mathbf Z} = \varprojlim S_n,$$

donde $S_n=S^1$ por cada $n$ cualquier $n,m$, el mapa de $S_{nm} \to S_m$ es la multiplicación por $n$.

(Una palabra de advertencia: he Aquí, yo estoy usando el modo "completo" Pontryagin doble, a saber, la de los mapas en $S^1$, en lugar de a $\mathbf Q/\mathbf Z$. De lo contrario, el doble de $\mathbf Z$ no $S^1$, pero la torsión $\mathbf Q/\mathbf Z\subseteq S^1$. El solenoide es en realidad más grande que el grupo se le preguntó acerca de su grupo se compone de la topológicamente nilpotent elementos de la solenoide, es decir, los $x$ tal que $x^{n!}$ converge a $1$. Observación, sin embargo, que el solenoide no tiene torsión de los elementos.)

El solenoide es un extraño espacio topológico, uno de los más simples ejemplos de un indecomposable continuo.

Objetos como el solenoide aparecen de forma natural en la transformada de fourier de la teoría de los campos de número. Si $\mathbf A$ denota la adele anillo de $\mathbf Q$, entonces uno tiene una secuencia exacta

$$0 \to \mathbf Q \to \mathbf A \to S^1 \to 1$$

donde el último mapa es dada por el adelic exponencial. Tomando duales, y el uso de la auto-dualidad de adeles, obtenemos la correspondiente secuencia exacta

$$0 \to \mathbf Z \to \mathbf A \to \widehat{\mathbf Q} \to 1$$

Por lo tanto, el grupo de aditivo adeles aparece de forma natural, como (sin dividir) la extensión de la solenoide por $\mathbf Z$.

Curiosamente, el solenoide admite una incrustación como un subespacio compacto de $\mathbf R^3$.