El género de una curva algebraica es invariante bajo isomorfismos

Question

Me gustaría saber cómo probar (o incluso mejor ver una prueba plena) de la siguiente "hecho".

Deje $C_1$ $C_2$ dos curvas suaves y deje $\phi : C_1 \rightarrow C_2$ ser un isomorfismo. Entonces $$ \text{género}(C_1) = \text{género}(C_2) $$

No estoy completamente seguro de que esto es cierto ya que no he visto este resultado indica explícitamente, pero me Imagino que tiene que ser verdad.

La motivación para esto proviene de un ejercicio de Silverman el libro de La Aritmética de Curvas Elípticas. Yo estaba haciendo el siguiente ejercicio y me di cuenta de que tenía el mencionado hecho en orden para que mi argumento para $(i) \implies (ii)$ a de trabajo.

2.5 Deje $C$ ser una curva suave. Probar que las siguientes son equivalentes ($\bar{K}$):

(i) $C$ es isomorfo a $\mathbb{P}^1$.

(ii) $C$ género $0$.

(iii) existen distintos puntos de $P, Q \in C$ satisfacción $(P) \sim (Q)$

He pensado en ello, pero por desgracia, no realmente ver cómo relacionarse fácilmente las dimensiones de la de Riemann-Roch espacios asociados a cada curva.

Realmente agradecería un poco de ayuda con esto.

Gracias.

Answer 1

La notación $\text{genus}(C_1)$ que no tiene sentido a menos que sepa que el género es invariante bajo isomorfismo; si no lo es, el género debe depender de la información distinta de la $C_1$ que no ha proporcionado.

En cualquier caso, la definición de género que se dan implica que es único, y desde las diversas dimensiones de la $\ell(D)$ se definen de forma independiente de las decisiones automáticamente son invariantes bajo isomorfismo, por lo que la definición que ha dado ya viene con una garantía de que $g$ es invariante bajo isomorfismo. Pero si usted desea una "prueba" de todos modos, a continuación, configuración de $D = 0$ da $\ell(K_C) = g$, por lo que es suficiente para mostrar que el divisor canónico es invariante bajo isomorfismo (por eso es llamado el divisor canónico!).

Answer 2

El género de una curva, como la dimensión del espacio de foliaciones forma $H^0(C,\Omega_C^1)$ es incluso invariante bajo birracional morfismos. De hecho, si $f:X \to Y$ es un morfismo birracional entre lisos variedades proyectivas complejas, $f^*$ induce un isomorfismo $H^0(Y,K_Y^{\otimes m}) \to H^0(X,K_X^{\otimes m})$ para cada número entero $m \geqslant 0$, $K_X = \Lambda^{\dim X} T_X^*$ Dónde está el paquete canónico en $X$.