Un campo vectorial es una sección de $T\mathcal{M}$.

Question

Por definición, un campo del vector es una sección de $T\mathcal{M}$. Estoy familiarizado con el concepto de campo vectorial, así como el plano tangente de una variedad.

Pero tal definición no es intuitivo para mí. ¿Alguien me podría dar alguna intuición? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Recuerde que un punto de la recta tangente paquete consiste en el par $(p,v)$ donde$p \in M$$v \in T_pM$. Tenemos el mapa de proyección $\pi: TM \to M$ que actúa por $(p,v) \to p$. Una sección de $\pi$ es un mapa de $f$, de modo que $\pi \circ f$ es la identidad. Así, para cada $p \in M$, tenemos que elegir un elemento de $TM$ que los proyectos de regreso a $p$. Así, para cada $p \in M$ estamos obligados a elegir un par de $(p,v)$$v \in T_pM$. Esta es la misma información que la elección de un vector tangente en cada espacio de la tangente, que es la misma información que un campo vectorial. Si insistimos en que la $f$ es suave (como generalmente lo hacen), entonces obtenemos un campo vectorial suave.

Answer 2

Al revés: la intuición ayuda a visualizar los vectores de tangentes en $p\in M$, es decir, los vectores en el espacio lineal $T_p M$, para cualquier punto de $p$ de la $C^{\infty}$-colector $M$. La pregunta es: ¿cómo a "globalizar" este concepto? ¿Cómo puedo considerar todos los tangente espacios del colector $M$ sin olvidar el tipo de estructura ($C^{\infty}$-colector de estructura)? El primer paso es introducir la tangente bundle $TM$ a cuidar de la local a la global de la imagen. Se pretende considerar la colección de todos los tangente espacios de $T_p M$ dando algunas condiciones adicionales en "pegar" los datos locales juntos: el resultado es un colector, con gráficos inducida por aquellos en $M$.

Una vez que tenemos este mundial $C^{\infty}$-objeto podemos pensar en "secciones", es decir, $C^{\infty}$-mapas de $\varphi: M\rightarrow TM$: por definición, como los mapas de satisfacer

$$\varphi(p)\in T_p M$$

para todos los $p\in U$ donde $U$ es cualquier conjunto abierto en el gráfico de la definición de $M$. En otras palabras, a nivel local la sección nos da la tangente vectores que suelen manipular en muchos cálculos. El precio a pagar es la necesidad de considerar los cambios de coordenadas y la transformación de la regla de los vectores de tangentes debajo de ellos.