Muestran que

Question

Que $a_n$ ser una secuencia de a $0$ y $\sum {{a_n} = \infty } $.
Muestran que: $$\sum {\min \left( {{a_n},{1 \over n}} \right)} = \infty $ $

Si hay $N_0$ tal que: $\forall n>N_0: min(a_n, {1\over n}) = {1\over n}$ o $\forall n>N_0: min(a_n, {1\over n}) = a_n$

entonces, el problema es trivial.

De lo contrario,
Definamos $b_n = min(a_n, {1\over n})$ y dos subsecuencias:
$b_{n_k} = {1 \over n_k}$
$b_{n_l} = a_{n_l}$

$$\sum {{b_n} = } \sum {{b_{{n_k}}}} + \sum {{b_{{n_l}}}} = \infty + \infty $$

¿Es eso correcto?

Answer 1

Hay un teorema (creo llamado "Prueba de condensación de Cauchy") que dice que una serie de positivos % disminución de términos $\sum_n s_n$converge si y solamente si converge $\sum_k 2^k s_{2^k}$. Para su serie usted consigue que la serie converge si y solamente si converge $\sum_k \min (2^k a_{2^k}, 1)$. Está claro que esta serie converge si y solamente si converge la $\sum_k 2^k a_{2^k}$, que es si y solamente si converge $\sum_n a_n$. Así que si $\sum_n a_n$ diverge la serie diverge.