Definición de números racionales

Question

Las definiciones de los números racionales son algo confuso para mí. La definición de los números racionales en la wikipedia y en la mayoría de los otros sitios es:

En matemáticas, un número racional es un número que puede ser expresado como el cociente o fracción $\frac pq$ de dos enteros, con denominador $q$ no es igual a cero.

Todos los números enteros puede ser expresado como el cociente $\frac pq$. Así que si ellos no están escritas en la fracción formulario, que todavía se llama números racionales?

Otra definición que he encontrado es:

Un número racional es un cociente de $\frac mn$ donde $m$ $n$ son enteros y $n \neq 0$.

Estas definiciones puede ser el mismo. Sin embargo, no soy capaz de averiguar de qué manera! Son números racionales los números que pueden expresarse como el cociente $\frac mn$ de dos enteros o aquellos que están directamente el cociente de dos números enteros? Por ejemplo, si $n$ es un número entero, por lo que es $n$ un número racional? O es $\frac n1$ un número racional?

Answer 1

Creo que el problema es que si, simplemente, el estado de esas definiciones exactamente como te vas a caer en el problema de no tener definido el concepto de "cociente de números enteros". De modo que el buen y fresco definición de racionales que resolver todos estos problemas es introducir una relación de equivalencia en un conjunto determinado. No sé si estás acostumbrado a las relaciones de equivalencia (o incluso las relaciones a todos), así que voy a hablar de eso primero.

Si usted tiene dos conjuntos de $A$ $B$ puede crear una relación $R$ entre ellas, que es un subconjunto del producto cartesiano $R\subset A\times B$. Piense por un minuto, elementos de $A\times B$ son pares $(a,b)$$a\in A$$b\in B$, por lo que si $(a,b)\in R$ nos están diciendo que la $a$ está de algún modo relacionada con $b$ y en este caso escribimos $aRb$. Ahora, una relación de equivalencia puede ser introducido entre un conjunto y para imitar la igualdad, es usualmente denotado $\sim$ y satisface las propiedades:

1. $a\sim a$ (Reflexividad)
2. $a \sim b \Longrightarrow b \sim a$ (Simetría).
3. $a \sim b \wedge b \sim c \Longrightarrow a\sim c$ (Transitividad)

En la tercera el $\wedge$ símbolo significa Y. Mira ahora que la igualdad siempre obedece las tres propiedades. Así que cuando tenemos un conjunto y queremos construir una noción de los objetos equivalentes sin ser iguales que el uso de una relación de equivalencia. Ahora, dado un conjunto $A$, una relación de equivalencia $\sim$ $A$ y algún elemento $a \in A$ el conjunto de todos los otros elementos de la $A$ equivalente a $a$ $\sim$ se llama clase de equivalencia y que se denominan $\left[a\right]$. El conjunto de todas las clases de equivalencia se llama el cociente conjunto y se denota $A/\sim$ y aunque los elementos son conjuntos de elementos de $A$ solemos pensar de $A/\sim$ ya que sólo los elementos de $A$ $\sim$ impuesto sobre ellos.

Ahora, volviendo a tu problema! Dado el conjunto a $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$, en otras palabras, pares ordenados de números enteros sin par con $0$ en el segundo elemento se introduce la siguiente relación de equivalencia $\sim$ en el conjunto:

$$(a,b)\sim(a',b') \Longleftrightarrow ab'=a'b$$

Ahora deje por un tiempo y mira lo que hice! Estamos casi a la definición de la quocient de los números enteros. Si introducimos la notación:

$$\frac{a}{b}=\left\{(a',b') \in \mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus\{0\}) : (a',b')\sim (a,b)\right\}$$

Tenemos exactamente lo que el cociente es: la clase de equivalencia de todos los elementos de la $(a,b)$ con la relación impuesta. Demostrar esto es realmente una relación de equivalencia es un buen ejercicio. Ahora, mira lo que he dicho antes: formalmente se define el coeficiente de uso de clases de equivalencia, pero en la práctica podemos simplemente pensar que es el elemento $(a,b) \in \mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ con la relación $\sim$ impuesto.

Ahora, podemos definir el conjunto de los racionales por:

$$\mathbb{Q}=(\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\}))/\sim$$

En otras palabras, el conjunto de los racionales es el conjunto de todos los cocientes de números enteros, recordando que hemos definido como el cociente como que clase de equivalencia. Con esta su primera definición es obviamente equivalente (de hecho nos hizo formal el uso de este pensamiento) y el segundo es exactamente lo mismo.

Espero que esto les ayude de alguna manera! Buena suerte!

Answer 2

Los enteros son de hecho racionales, porque cada número entero puede ser había expresado como un cociente como describes.

La segunda definición parece diferente, a primera vista, pero no es. Si un número $x$ puede ser expresado como tal un cociente $\frac{m}{n}$, entonces es tal cociente, en el sentido que $\frac{m}{n}=x.$ por el contrario, tal cociente puede inmediatamente ser expresado como un cociente.

Answer 3

Espero que esto ayude a clarifing las cosas un poco. $\mathbb{Z}$ es construido a partir de $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ la introducción de una relación de equivalencia sobre él y $\mathbb{Q}$ es ganado de $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ teniendo en cuenta su cociente por otro appropriete de equivalencia de la relación (los detalles se pueden encontrar en todas partes, por ejemplo en la Wikipedia). Así que, estrictamente hablando, no es correcto decir que el$\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}$, porque no es cierto que cada elemento de la LHS es también un elemento de RHS. Pero tenemos un canonycal función de $i\colon\mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{Q}$, la asignación de $n\in\mathbb{Z}$$\frac{n}{1}$, que es inyectiva (por lo tanto un bijection en su imagen) y también un anillo (monótona) homomorphism. Por lo tanto podemos identificar, razonamiento hasta el isomorfismo, $\mathbb{Z}$ $i(\mathbb{Z})$ cuando queremos pensar a $\mathbb{Z}$ contenidos ("embedded") en $\mathbb{Q}$.

Answer 4

números racionales es lo que obtienes cuando $\mathbb{Z}$ se cierra a la división. División está definida cuando el divisor es $0$.

Lo que esto significa es que si $p$ y $q$ están en el juego, así que es $p/q$, cuando por la división. El conjunto equivale a la proporción de elementos de $\mathbb{Z}$.