¿Diagrama de Voronoi?

Question

Supongamos que hay un número finito de discos de radios unitarios disjuntos en el plano, cada uno de los cuales gira en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario con la misma velocidad angular. El plano está lleno de una fina capa de fluido, y los discos pueden verse como aspas de un ventilador que giran determinando vectores de movimiento del fluido tangentes a los discos. ¿Se conoce el flujo resultante y el campo vectorial en todo el plano? Mi intuición inicial es que debería haber algo así como un diagrama de Voronoi que delimite las regiones de influencia. Pero al explorar un poco me parece que incluso puede ser no trivial determinar el flujo entre sólo dos vórtices que giran en sentido contrario. Por ejemplo, la siguiente imagen fue calculada por Paul Nylander basado en un documento de O.S. Kerr y J.W. Dold, "Vórtices periódicos estables en un flujo de punto de estancamiento". J. Fluid Mech. , 276, 307-325 (1994) .

Como soy bastante inculto en este tema, las indicaciones para literatura relevante podría ser suficiente. Gracias.

Edición1 . Ahora he pedido una versión revisada de esta pregunta en Math Overflow , incorporando las sugerencias aclaratorias de Rahul. Es posible que dé con un experto en dinámica de fluidos ahí.

Edición2 . Gracias a Rahul y David Bar Moshe aquí, y a Willie Wong y Bob Terrell en MO, tengo una comprensión mucho más amplia del problema, y probablemente podría calcular una solución numérica solución numérica si es necesario. Agradezco la ayuda.

Answer 1

Editar: Parece que tiene una idea idéntica, con mucho más detalle, ya te lo ha dado jvkersch . Me siento humilde. También debo señalar que mi ejemplo de abajo, que sólo pretendía ser una ilustración, no sería una solución en estado estacionario en un fluido físico, porque la interacción entre los propios vórtices los haría moverse.

La idea de David Bar Moshe me ha recordado algunos trabajos de visualización de campos vectoriales que, efectivamente, utilizan puntos de estancamiento para dividir el dominio del fluido en algo así como "regiones de influencia". Creo que el trabajo inicial que introdujo la idea fue el de Helman y Hesselink "Visualizing Vector Field Topology in Fluid Flows" ( Copia en PDF ).

En nuestro caso, como hemos supuesto que el flujo es incompresible e irrotacional, en una configuración genérica la velocidad sólo puede ser nula en los puntos de ensillamiento, donde el flujo apunta hacia dentro en dos direcciones y hacia fuera en dos direcciones. Las líneas de corriente a lo largo de estas direcciones se denominan separatrices del punto de la silla de montar. Si se colocan dos partículas juntas en diferentes lados de una separatriz y se las deja seguir el flujo, divergirán en el punto de ensillamiento y seguirán trayectorias dispares a largo plazo. Así que estas separatrices dividen el espacio en regiones donde la topología global de las líneas de flujo es diferente.

He aquí un ejemplo que he cocinado en Matlab porque pensé que quedaría bonito. Hay cuatro vórtices puntuales en un cuadrado, cuyas circulaciones son -1, -1, -2 y 1 yendo en el sentido de las agujas del reloj desde arriba a la izquierda. Así es como se ve la dirección del campo de velocidad:

En el diagrama siguiente, las separatrices dividen el espacio en regiones en torno a los vórtices (y sus agrupaciones). En cada región distinta, las líneas de corriente giran en torno a un conjunto concreto de vórtices. Los puntos de ensillamiento son los puntos en los que se juntan cuatro arcos. Creo que este tipo de diagrama es lo que esperabas cuando pediste algo como un diagrama de Voronoi alrededor de los vórtices.

(Para una imagen completa, debería haber flechas en las separatrices para indicar la dirección del flujo, pero no he podido averiguar cómo hacerlo en Matlab).

Answer 2

En el marco de Flujo potencial el campo de velocidad de un flujo potencial bidimensional es el gradiente de la parte real de una función compleja $w(z)$ que es analítica fuera de las regiones de singularidad. La parte imaginaria del potencial complejo es la función de corriente, cuyos loci constantes son las líneas de corriente, es decir, las curvas integrales del campo de velocidad. Por ejemplo, para un vórtice simple que actúa en $z_0$ la función potencial viene dada por:

$w(z) = -\frac{i \Gamma}{2 \pi} log(z-z_0)$ .

( $\Gamma$ es (la constante) vorticidad). Es fácil comprobar que esta función poencial da rize a un flujo angular alrededor de $z_0$ de velocidad inversamente proporcional a la distancia de $z_0$ .

La parte real del potencial complejo satisface la ecuación bidimensional de Laplace y, por linealidad, se pueden obtener nuevas soluciones por superposición. En el caso de los vórtices múltiples, la función potencial compleja toma la forma

$w(z) = \sum_n -\frac{(-1)^n i\Gamma}{2 \pi} log(z-z_n)$ ,

donde $z_n$ son los centros de vórtice.

Ahora se me ocurre un posible candidato a diagrama de Voronoi para los vórtices definiendo las paredes de las celdas como los lugares de los puntos de estancamiento en los que la velocidad del fluido es cero. Estos puntos se caracterizan por la condición

$\frac{dw(z)}{dz}=0$ .

Esta sugerencia dará lugar a una solución sencilla en el caso de los vórtices que giran en la misma dirección, pero no en el caso de los vórtices que giran en sentido contrario.

Observación: De una lectura superficial del artículo referido, la solución de vórtice es una perturbación a un flujo de punto de estancamiento. Se trata de un flujo hacia una pared o una esquina. Para tener en cuenta la existencia de esta pared, hay que añadir vórtices desde el otro lado de la pared según la método de las imágenes . Es posible que los puntos de estancamiento de la solución completa (incluyendo las imágenes) tengan la estructura de celdas de Voronoi requerida.

Editar:

Gracias al acertado comentario de Rahul, los puntos de estancamiento son ciertamente discretos y no tienen lugares unidimensionales. Creo que la sugerencia se puede salvar si definimos las paredes de las celdas de Voronoi como si pasaran por los puntos de estancamiento y tuvieran una normal en la dirección de la línea que conecta los dos vórtices.