Cómo demostrarlo: $n! \times (n+1) = (n+1)!$

Question

Si introduzco números, veo que es lo mismo, pero no sé cómo pasar de uno a otro.

Me atasco en: $$ n!(n+1) = n n! + n! $$ No puedo hacer la conexión para el paso final.

$(2n + n)!$ no me parece bien, porque entonces me acaba de tomar n de nuevo y se quedó con $n!$ $(n+1)$ que es lo mismo con lo que empecé... sí para los giros en U.

Answer 1

Es casi transparente. $ n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$ y $(n+1)!=(n+1)n(n-1) \cdots2\cdot1$ . Usted debe ser capaz de ver a partir de lo anterior. O puede argumentar de la siguiente manera: $$\eqalign{ \color{maroon}{n!}(n+1)&=[\color{maroon}{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1 }](n+1)\cr &= (n+1)[\color{maroon}{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1 }]\cr &=(n+1)\cdot n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1 \cr &=(n+1)!.} $$

Answer 2

Utiliza la definición de factorial. Y demuestra que la izquierda es igual a la derecha en lugar de que la derecha es igual a la izquierda.

Answer 3

Podríamos utilizar un argumento combinatorio para demostrarlo:

$n!(n+1) = (n+1)!$

Puede que esto no sea lo que quiere el PO, sin embargo, ¡me ha parecido interesante!

es construir 2 escenarios para generar la permutación.

Escenario 1 necesita (n+1) objetos para permutar. El número de permutaciones es $(n+1)!$ por definición. Esto cubre el lado derecho de la ecuación (ver fig.1)

Escenario 2 permuta los (n+1) objetos en 2 pasos. El primer paso permuta $n$ y en el segundo paso intenta crear la permutación final utilizando $(n+1)$ objetos. Por ejemplo $n+1=3$ Así que $n=2$ y queremos generar permutaciones para A,B,C (n+1 objetos). Para ello crearemos 2 conjuntos a partir de {A,B,C}. A saber {A,B} y {C}.

{A,B} puede permutarse en $2!=2*1=2$ diferentes formas como en la Fig.2, pero estamos después de la creación de todas las combinaciones posibles forma {A,B,C}, por lo que necesitamos para utilizar C con cada una de las permutaciones generadas {A,B} y {B,A}.

Podemos fusionar C en la permutación A,B por ejemplo, de 3 maneras (es decir n+1 maneras), para obtener 3 nuevas permutaciones, a saber: (C, A, B), (A, C, B) y (A, B, C). Este proceso de fusión puede repetirse para cada fila del $n!$ filas resultantes de permutar las $n$ objetos.

Es decir, acabamos con $n! *(n+1)$ permutaciones, que es el lado izquierdo de la ecuación.

Answer 4

Otra forma de escribir una "prueba" sería utilizar notación del producto y la definición $n! = \prod_{k=1}^n k$ :

$$(n+1)\,n! = (n+1) \prod_{k=1}^n k = \prod_{k=1}^{n+1} k = (n+1)!$$

Pero, por supuesto, como señala Chris Taylor en los comentarios, la validez de pruebas como ésta depende realmente de la definición de factorial de la que se parta y de los lemas que se consideren ya demostrados.