Demostrar $x = \sqrt[100]{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt[100]{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ es irracional

Question

Demostrar $x = \sqrt[100]{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt[100]{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ es irracional.

Puedo demostrar que $x$ es irracional demostrando que es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros y el uso racional de la raíz teorema deducir que debe ser irracionales o un número entero y, a continuación, mostrar que no es un entero, por lo tanto, debe ser irracional.

Me preguntaba ¿qué otros métodos para demostrar $x$ es irracional. Yo estaría muy interesado en ver la alternativa de las pruebas.

Answer 1

Deje $y = \sqrt[100]{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$. A continuación,$x = y + {1 \over y}$. Supongamos $x$ fueron algunas de número racional $q$. A continuación,$y^2 - qy + 1 = 0$. Esto significa ${\mathbb Q}(y)$ es un campo de extensión de ${\mathbb Q}$ de grado dos, y cada función racional de $y$ es en este campo de extensión. Esto incluye a $y^{100} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$, e $y^{-100} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$. Para que su suma y la diferencia también está en ${\mathbb Q}(y)$. Por lo tanto ${\mathbb Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \subset {\mathbb Q}(y)$. Pero ${\mathbb Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ es una extensión de ${\mathbb Q}$ de grado 4, una contradicción.

Puede que las más elementales mostrando las sucesivas potencias de $y$ son siempre de la forma $q_1y + q_2$ $q_1$ $q_2$ racional y, finalmente, mostrando algunos de los $q_3\sqrt{2} + q_4\sqrt{3}$ debe ser racional, una contradicción.

Answer 2

SUGERENCIA $\rm\quad \alpha+\bar\alpha,\ \alpha\:\bar\alpha\:\in \mathbb Q\ \Rightarrow\ \alpha^{\:n}+\bar\alpha^{\:n}\in \mathbb Q\ $ por inducción, ya que

$$\rm\ \alpha^{\:n+1}\!+\:\bar\alpha^{\:n+1}\ =\ (\alpha+\bar\alpha)\ (\alpha^n\!+\:\bar\alpha^n)-\alpha\:\bar\alpha\ (\alpha^{\:n-1}\!+\:\bar\alpha^{\:n-1})$$

En su caso $\rm\ \alpha\:\bar\alpha = 1\in\mathbb Q\ $ $\rm\ \alpha + \bar\alpha\ \in\mathbb Q\ \Rightarrow\ \alpha^{\:100} + \bar\alpha^{\:100} =\ 2\:\sqrt{3}\in\mathbb Q\ \Rightarrow\Leftarrow$

Buscar Lucas-Lehmer secuencias para aprender más acerca de ese poder sumas algebraicas de las raíces.

Answer 3

Si $y + y^{-1} = x$, $y^n + y^{-n}$ es un polinomio $F_n(x)$ con el entero los coeficientes en $x$. En particular, si $x$ es racional, entonces es: $$F_{100}(x) = y^{100} + y^{-100} = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) =2 \sqrt{3}.$$

Los polinomios $F_{n}(x)$ (hasta el escalado y la renormalization) la Los polinomios de Chebyshev. Uno tiene $F_0(x) = 2$, $F_1(x) = x$, $F_2(x) = x^2 - 2$, y $F_{n}(x) = x F_{n-1}(x) - F_{n-2}(x)$.