Construir una serie convergente de términos positivos con $\displaystyle\limsup_{n\to\infty} {a_{n+1}\over{a_n}}=\infty$

Question

Construir una serie convergente de términos positivos con $\displaystyle\limsup_{n\to\infty} {a_{n+1}\over{a_n}}=\infty$

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Mis pensamientos:

Por el teorema: suponga que $a_n\ge0$ % todo $n$y que $l=\displaystyle\limsup{\sqrt[n]{a_n}}$. Si $l<1$, entonces el $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge; y si $l>1$, entonces el $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverge.

Así, sabemos que diverge de $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {a_{n+1}\over{a_n}}$

Supongo que podría funciona, $(x_n)_{n=1}^{+\infty}$, $x_{n+1} = x_n^2 + x_n$ % todo $n\ge1$...

Answer 1

Necesita obtener grandes proporciones $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, pero no demasiado a menudo. Comenzar con una bonita serie convergente, decir $$\sum_{n\ge 0}2^{-n}=1+\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\ldots~\;.\tag{1}$$ Of course in $(1)$ the ratios are all $\frac12$. To get a bigger ratio at $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ for some $n$, just replace $a_n=2^{-n}$ by a smaller number. Por ejemplo, que

$$ a_n =\begin{cases} \frac1{n2^n},&\text{if }n\text{ is even}\\\\ \frac1{2^n},&\text{if }n\text{ is odd}\;. \end{casos} $$

Entonces

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\begin{cases} \frac{n}2,&\text{if }n\text{ is even}\\\\ \frac1{2(n+1)},&\text{if }n\text{ is odd}\;. \end{cases}$$

Claramente es todavía convergente, $\sum_{n\ge 0}a_n$ y $\limsup_n\frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty$.

Answer 2

Vistazo a la serie $$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{4^5}+\frac{1}{2^5}+\cdots.$ $ tenga en cuenta la alternancia inusual: a veces el término siguiente es mucho menor que el anterior y a veces es mucho más grande.

Answer 3

Tengo un ejemplo:

Considere$$ a_n = \begin{cases} \frac{1}{m^2} & n = 2m - 1\\ \frac{1}{2^m} & n = 2m \end{cases}\qquad m = 1, 2, \ldots. $ $

Es obvio que la serie$\sum a_n$ es convergente ya que$\sum \frac{1}{n^2}$ y$\sum \frac{1}{2^n}$ son convergentes.

Sin embargo,%

Answer 4

Pruebe la secuencia $( \frac{1}{2})^3 + ( \frac{1}{2})^2+ ...+ ( \frac{1}{k})^3+ (\frac{1}{k})^2+ ...$.

Desde $\frac{a_{2n+2}}{a_{2n+1}}=\frac{(\frac{1}{n+1})^2}{(\frac{1}{n+1})^3} = n+1$, tenemos $\limsup_n \frac{a_{n+1}}{a_n} = \infty$. La secuencia es convergente puesto que ambos $\sum \frac{1}{k^2}$ y $\sum \frac{1}{k^3}$ son convergentes.