Definición de medidas en un múltiple: Cómo

Question

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Dado suave colectores $M,N$ ($m$- y $n$- colectores respectivamente) Adrs del el teorema dice que para $f:M \to N$ en $C^k$ ; $k \geq 1$, la imagen del conjunto de puntos críticos de $f$ $M$ - puntos en $M$ donde el Jacobiano tiene rango $< m$ --tiene medida cero en N:

http://en.wikipedia.org/wiki/Sard%27s_theorem

Ahora, sé lo que significa para un conjunto a tiene medida cero en el caso de $M, N$ Euclidiana espacios, pero yo no soy claro, ¿cómo definimos las medidas de colectores; sé que puede tirar de diferentes tipos de objetos de $\mathbb R^n$ a un colector, como $k$-formas, etc., pero no sé si/cómo uno pullsback una medida de $\mathbb R^n$, ya que no soy siquiera está claro en qué tipo de objeto de una medida. Es sólo un $0$-forma, es decir, sólo una función? Si es así, podemos definir una medida a nivel mundial en un colector, o simplemente nos interrumpe separadamente para cada uno de los gráficos?

Answer 1

Tiene medida cero es algo que se puede definir sin definir realmente una medida en el múltiple. Puede definir un subconjunto $A$ $N$ para tienen medida cero si para cada tabla $\phi:U\to\mathbb R^n$ $N$, $\phi(U\cap A)$ tiene medida cero en $\mathbb R^n$.

Desea que esto sea algo que es invariante bajo diffeomorphism. Ese es el caso porque lisas mapas entre subconjuntos de $\mathbb R^n$ conservan la propiedad de tener un % de la medida de Lebesgue $0$.