Que % prime $p=4n+1$es un divisor de $n^{n}-1$

Question

Mostrar que el primer número $p=4n+1$ es un divisor de a $n^{n}-1$

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Ok, la pregunta es simple como el infierno, pero yo no podía pensar en una manera simple de resolver esta cuestión. Traté de resolver la cuestión mediante el uso de $p\equiv 1 \pmod n$ pero sólo para fallar miserablemente... no puedo utilizar residuos cuadráticos concepto ni el puesto n podría ser impar.

Estaría muy contento si algunos podría descifrarlo utilizando métodos elementales de la teoría de los números, tales como la raíz primitiva, Jacobina de símbolos y así sucesivamente (ya que sólo soy un principiante de la teoría de los números cosas).

Gracias!

Answer 1

Sabemos que$n$ es un residuo cuadrático modulo$p$, ya que$1 = \left( \frac{-1}{p}\right) = \left(\frac{4n}{p}\right) = \left(\frac{n}{p}\right)$. Dejar $k^2 \equiv n \pmod{p}$. Entonces

ps

Así que$$(k+2n)^2 = k^2 + 4nk + 4n^2 \equiv n -k - n \equiv -k \pmod{p},$ es en realidad una cuarta potencia,$n$. Por lo tanto

ps

Answer 2

En general, si $p=4n+1$ es primo, entonces $a^n\equiv 1\pmod {p}$ si y sólo si $a\equiv x^4\pmod p$ algunos $x$.

Vamos a mostrar que $-4$ es un cuarto poder, $\pmod p$.

Si $n$ es incluso, a continuación, $2$ es un cuadrado, y $(-1)^n\equiv 1\pmod p$, lo $-4$ es un cuarto poder.

Si $n$ es impar, entonces $-1\equiv x^2$ donde $x$ no es un cuadrado. Del mismo modo, $2$ no es un cuadrado. Por lo $2x$ es un cuadrado, $\pmod p$. Por lo $4x^2\equiv -4\pmod p$ es un cuarto poder.

Sabiendo que $-4$ es un cuarto poder, es todo lo que usted necesita, ya que:

$$-4n\equiv 1\pmod p$$

Por lo $n$ es un cuarto poder, demasiado, por lo $n^n\equiv 1\pmod p$.

Answer 3

Aquí es una prueba más que $-4$ es un cuarto poder modulo $p$ (para $p \equiv 1 \bmod 4$.) Que $i$ sea una raíz cuadrada de $-1$. Entonces $(1+i)^4=-4$.