¿Es$3$ un elemento principal de$\mathbb{Z[\eta]}$?

Question

Cómo comprobar si $3$ es un elemento primordial o no en $\mathbb{Z[\eta]}$, donde $\eta$ es una raíz primitiva de la th $17$del % de la unidad.

También en general cómo podemos nosotros comprobar que un elemento es primer o no en $\mathbb{Z[\eta]}$, donde $\eta$ una primitiva raíz n-ésima de la unidad

Answer 1

Este es un grato ejemplo de una buena técnica. Me explico:

El campo $\Bbb Q(\eta)=K$ es de grado $16$$\Bbb Q$, puesto que el $17$th cyclotomic polinomio $\Phi_{17}$ $\Bbb Q$- irreductible. Es bien sabido - lo voy a dejar a usted para buscar este hecho hasta que el campo conseguido por el que se adhiere a la $p$-ésima raíz de la unidad es ramificado, sólo en $p$. En particular, la descomposición del ideal de la $(3)\subset\Bbb Z[\eta]=R$ es simplemente un producto de las distintas primer divisores de $3$$R$: no exponentes mayor que $1$. Vamos a escribir $(3)=\mathfrak p_1\cdots\mathfrak p_g$, donde estos son los divisores de $3$.

Ahora $R/(3)=R/(\mathfrak p_1\cdots\mathfrak p_g)=R/\mathfrak p_1\oplus\cdots\oplus R/\mathfrak p_g$, la última expresión es la de anillo suma directa de los anillos finitos $R/\mathfrak p_i$. (Si no hubiera sido ramificación, estaríamos sumando cosas de forma $R/\mathfrak p_i^e$ donde $e$ fue el índice de ramificación, y esos anillos no son campos).

Debido a $\eta\not\equiv1\pmod3$ (si lo fuera, entonces $\Phi_{17}(1)=0$ también, pero este no es el caso), y como resultado hay una primitiva $17$-ésima raíz de la unidad en uno (en realidad todos) de los campos de $R/\mathfrak p_i$.

Estos campos finitos son extensiones de $\Bbb F(3)=\mathbb Z/3\mathbb Z$. ¿Cuál es la primera posibilidad para un campo finito de forma $\Bbb F(3^n)$ que contiene un $17$-ésima raíz de la unidad? La respuesta es, la primera $n$ tal que $17|(3^n-1)$, este último número de la orden de el grupo multiplicativo de a $\mathbb F(3^n)$. En otras palabras, la primera $n$ tal que $3^n\equiv1\pmod{17}$. Usted puede haber notado ya que el $3$ es una primitiva de residuos modulo $17$, es decir, que $3^{16}\equiv1\pmod{17}$, pero esto no es cierto para cualquier menor $n$; si no, todo lo que usted necesita para comprobar es que $3^8=81\times81\not\equiv1\pmod{17}$.

¿Qué hemos visto? Uno de los campos de $R/\mathfrak p_i$ debe ser igual (isomorfo, en realidad) a $\Bbb F(3^{16})$. Pero en vista de la maravillosa fórmula $\sum_ie_if_i=n=[K:\Bbb Q]$, donde el $e$'s son la ramificación de los índices y cada una de las $f_i$ es el grado de $R/\mathfrak p_i$$\Bbb F(3)$, se ve que sólo hay un $\mathfrak p$, es decir, la primera. Así, la descomposición es $(3)=\mathfrak p$.

El resultado de todo esto? Sí, $3$ todavía es irreducible en a $R=\Bbb Z[\eta]$.

Answer 2

En general, supongo que quieres buscar en la norma y espero que sea un número primo. Para comprobar si los números primos estancia principal, en realidad podemos decir precisamente lo que sucede. Es decir, la división de comportamiento de $p$ $\mathbb Z[\eta]$ es el mismo que el del polinomio mínimo de a $\eta$ (es decir, el cyclotomic polinomio) modulo $p$.

Vamos a decir $n$ es primo, por ejemplo,$n = 17$. A continuación, $p$ es unramified para todos los $p \neq n$, y el grado de inercia es el orden de $p \in (\mathbb Z/n)^{\times}$. Por otro lado, $n\mathbb Z[\eta] = (1 - \eta)^{n-1}$.

Para el caso de $p \neq n$, utilizar el análisis discriminante o el hecho de que $x^n - 1$ es separable modulo $p$. Por otra parte, si la descomponemos $x^{n-1}+\ldots+x+1 = g_1\cdots g_r$ en factores irreducibles, entonces cada una de las $g_i$ es el polinomio mínimo de una primitiva $n$-ésima raíz de la unidad $\zeta\in\overline{\mathbb F_p}$, e $\mathbb F_p(\zeta) = \mathbb F_{p^m}$ algunos $m\in\mathbb N$. Por lo tanto $\deg(g_i) = [\mathbb F_p(\zeta) : \mathbb F_p] = m$ es mínima tal que $\mathbb F_{p^m}^{\times}$ tiene un elemento de orden $n$, es decir,$n|(p^m-1)$, que es el mismo que $p^m \equiv 1 \bmod n$. Obtenemos el isomorfismo $$\mathbb Z[\eta]/p \cong \mathbb Z[x]/(p,x^{n-1}+\ldots+x+1) \cong \mathbb F_p[x]/(x^{n-1}+\ldots+x+1) \cong \prod_{i=1}^r \mathbb F_p[x]/g_i,$$ que en realidad restringe a$\mathbb Z[\eta]/\mathfrak p \cong \mathbb F_p[x]/g_i$$\mathfrak p | p$, lo $\deg(g_i)$ es de hecho el grado de inercia. De hecho, el primer descomposición se $p\mathbb Z[\eta] = \prod_{i=1}^r (p,f_i(\eta))$$f_i \equiv g_i \bmod p$.

Queda por contestar la pregunta extremadamente difícil de lo que la orden de $3 \in (\mathbb Z/17)^{\times}$ es. Al parecer, de hecho es una raíz primitiva módulo $17$, lo $3$ será el primer en $\mathbb Z[\eta]$.