Sea $\phi$ sea un automorfismo de $M_2({\mathbb C})$ . Ponga $F_{ij}=\phi(E_{ij})$ . Tenemos la identidad $E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}$ donde $\delta_{jk}$ es el símbolo de Kronecker. Así que $F_{ij}F_{kl}=\delta_{jk}F_{il}$ . En particular, $F_{ii}^2=F_{ii}$ para cualquier $i$ . Así que $F_{11}$ y $F_{22}$ son proyectores. También, $F_{11}F_{22}=F_{22}F_{11}=0$ .
Afirmo que ${\sf Im}(F_{11}) \cap {\sf Im}(F_{22})=\lbrace 0 \rbrace$ . En efecto $a\in {\sf Im}(F_{11}) \cap {\sf Im}(F_{22})$ . Entonces tenemos $x_1,x_2$ tal que $a=F_{11}x_1=F_{22}x_2$ . Entonces $a=F_{11}a=F_{11}F_{22}x_2=0x_2=0$ como se afirma.
También, $E_{11}+E_{22}=I_2$ produce $F_{11}+F_{22}=I_2$ . Así que cualquier $a\in {\mathbb C}^2$ se puede escribir $a=F_{11}a+F_{22}a \in {\sf Im}(F_{11}) + {\sf Im}(F_{22})$ . Así que vemos que ${\mathbb C}^2$ es la suma directa $$ {\mathbb C}^2={\sf Im}(F_{11}) \oplus {\sf Im}(F_{22}) \tag{1}$$
Desde $\phi$ es un automorfismo, su núcleo es trivial, por lo que $F_{11}\neq 0$ y $F_{22} \neq 0$ . Así que los espacios de los sumandos en (1) no son cero, y la única posibilidad es que tengan ambas dimensiones $1$ . Por lo tanto, hay vectores independientes $v_1,v_2$ tal que ${\sf Im}(F_{11})={\sf Vect}(v_1)$ y ${\sf Im}(F_{22})={\sf Vect}(v_2)$ .
Para cada $i$ , $F_{ii}(v_i)$ está en ${\sf Im}(F_{ii})={\sf Vect}(v_i)$ por lo que hay un $\lambda$ tal que $F_{ii}(v_i)=\lambda v_i$ . En $F_{ii}^2=F_{ii}$ deducimos $\lambda^2=\lambda$ . Como claramente $\lambda \neq 0$ tenemos $\lambda=1$ Así que
$$ F_{11}(v_1)=v_1, F_{22}(v_2)=v_2 \tag{2} $$
Entonces
$$ F_{11}v_2=F_{11}\bigg(F_{22}v_2\bigg)=0v_2=0 \tag{3} $$ y de forma similar $F_{22}v_1=0$ . Además,
$$ F_{12}v_1=F_{12}\bigg( F_{11}v_1 \bigg)=0v_1=0 \tag{4} $$
También, $F_{12}v_2=F_{11}F_{12}v_2 \in {\sf Im}(F_{11})$ por lo que existe una constante $\lambda$ tal que $F_{12}v_2=\lambda v_1$ . Del mismo modo, existe una constante $\mu$ tal que $F_{21}v_1=\mu v_2$ . Entonces, $v_1=F_{11}v_1=F_{12}F_{21}v_1=(\lambda \mu)v_1$ Así que $\mu=\frac{1}{\lambda}$ .
Sea $A$ sea la única matriz que satisface $A(e_1)=\lambda v_1$ y $A(e_2)=v_2$ . Entonces $\phi(X)=A^{-1}XA$ para cualquier $X$ qed.
