Estoy confundido con esta pregunta aparentemente trivial:
Si $f(a) = 0$ para algunos $a\in D$ , entonces cuando es $f(x)$ reducible en $D[x]$ ? ( $D$ es un dominio integral).
Mi respuesta: Siempre.
Dejemos que $f(a)=0$ . Entonces $f(x)$ tiene $(x-a)$ como factor. Así que $f(x)$ puede escribirse como $f(x) = (x-a)h(x)$ . Ahora bien, ¿cuál es la garantía de que $h(x)\in D[x]$ ? Creo que es el algoritmo de división de polinomios (resto = 0). ¿Estoy en lo cierto al demostrar $h(x)\in D[x]$ ?
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Sí, eso se sigue por el Algoritmo de la División. También es necesario que $\,h\neq 0\,$ es una no unidad, o que $\,\deg h > 1,\,$ dependiendo de su definición de "reducible".
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@BillDubuque sí necesito $h\neq0$ debe ser una no unidad. No lo he demostrado.
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Pero utilizando deg f = deg (x-a) + deg h, podemos obtener deg $h \geq1$ para el grado $f\geq2$ y el caso deg f=1 es trivial, ¿no?
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Sí, tienes la idea correcta.