Estoy confundido con esta pregunta aparentemente trivial:
Si f(a)=0f(a)=0 para algunos a∈Da∈D , entonces cuando es f(x)f(x) reducible en D[x]D[x] ? ( DD es un dominio integral).
Mi respuesta: Siempre.
Dejemos que f(a)=0f(a)=0 . Entonces f(x)f(x) tiene (x−a)(x−a) como factor. Así que f(x)f(x) puede escribirse como f(x)=(x−a)h(x)f(x)=(x−a)h(x) . Ahora bien, ¿cuál es la garantía de que h(x)∈D[x]h(x)∈D[x] ? Creo que es el algoritmo de división de polinomios (resto = 0). ¿Estoy en lo cierto al demostrar h(x)∈D[x]h(x)∈D[x] ?
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Sí, eso se sigue por el Algoritmo de la División. También es necesario que h≠0h≠0 es una no unidad, o que degh>1,degh>1, dependiendo de su definición de "reducible".
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@BillDubuque sí necesito h≠0h≠0 debe ser una no unidad. No lo he demostrado.
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Pero utilizando deg f = deg (x-a) + deg h, podemos obtener deg h≥1h≥1 para el grado f≥2f≥2 y el caso deg f=1 es trivial, ¿no?
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Sí, tienes la idea correcta.